导数在研究函数中的应用(强化练)[学生用书P135(单独成册)]一、选择题1．(2019·濮阳高二检测)已知f′(x)是f(x)＝sinx＋acosx的导函数，且f′＝，则实数a的值为()A.B．C.D．1解析：选B.由题意可得f′(x)＝cosx－asinx，由f′＝，得－a＝，解得a＝.故选B.2．函数f(x)＝x3－3x在(1，＋∞)上是()A．减函数B．增函数C．常数函数D．不能确定解析：选B.当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＝3x2－3>0，故选B.3．已知对任意实数x，有f(－x)＝f(x)，且x＞0时，f′(x)＞0，则x＜0时()A．f′(x)＞0B．f′(x)＜0C．f′(x)＝0D．无法确定解析：选B.因为f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．又x＞0时，f′(x)＞0，故当x＞0时，f(x)为增函数，由偶函数在对称区间上单调性相反，可知当x＜0时，f(x)为减函数，故选B.4．(2019·太原高二检测)如图是导函数y＝f′(x)的图象，则下列说法错误的是()A．(－1，3)为函数y＝f(x)的单调递增区间B．(3，5)为函数y＝f(x)的单调递减区间C．函数y＝f(x)在x＝0处取得极大值D．函数y＝f(x)在x＝5处取得极小值解析：选C.由题图，可知当x＜－1或3＜x＜5时，f′(x)＜0；当x＞5或－1＜x＜3时，f′(x)＞0.故函数y＝f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，5)，单调递增区间为(－1，3)，(5，＋∞)，函数y＝f(x)在x＝－1，x＝5处取得极小值，在x＝3处取得极大值，故选项C说法错误．5．函数f(x)＝x＋cosx在[0，π]上的()A．最小值为0，最大值为B．最小值为0，最大值为＋1C．最小值为1，最大值为D．最小值为1，最大值为π－1解析：选D.f′(x)＝1－sinx．因为0≤x≤π，所以0≤sinx≤1，所以f′(x)≥0，即f(x)在[0，π]上是增函数，所以f(x)max＝f(π)＝π－1，f(x)min＝f(0)＝1，故选D.6．设函数f(x)＝2(x2－x)lnx－x2＋2x，则函数f(x)的单调递减区间为()A.B．C．(1，＋∞)D．(0，＋∞)解析：选B.由题意，可得f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2(2x－1)lnx＋2(x2－x)·1－2x＋2＝(4x－2)lnx.由f′(x)＜0，可得(4x－2)lnx＜0，所以或，解得＜x＜1，故函数f(x)的单调递减区间为，选B.7．函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)＝f(2－x)，且当x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)＜0，设a＝f(0)，b＝f，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为()A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．c＜a＜bD．b＜c＜a解析：选C.因为当x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)＜0，所以f′(x)＞0，所以函数f(x)在(－∞，1)上是单调递增函数，所以a＝f(0)＜f＝b，又f(x)＝f(2－x)，所以c＝f(3)＝f(－1)，所以c＝f(－1)＜f(0)＝a，所以c＜a＜b，故选C.8．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋1在x＝1处取得极大值3，则f(x)的极小值为()A．－1B．0C．1D．2解析：选C.依题意知f(1)＝a＋b＋1＝3，即a＋b＝2.①因为f′(x)＝3ax2＋2bx，f′(1)＝0，所以3a＋2b＝0.②由①②得a＝－4，b＝6.所以f′(x)＝－12x2＋12x＝0得x＝0或x＝1.易知在x＝0处f(x)取极小值1.故选C.9．若函数f(x)＝x3－x2＋2bx在区间[－3，1]上不单调，则f(x)在R上的极小值为()A．2b－B．b－C．0D．b2－b3解析：选A.由题意得f′(x)＝(x－b)(x－2)．因为f(x)在区间[－3，1]上不单调，所以－3＜b＜1.由f′(x)＞0，解得x＞2或x＜b；由f′(x)＜0，解得b＜x＜2.所以f(x)的极小值为f(2)＝2b－.故选A.10．已知函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3，2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是()A．20B．18C．3D．0解析：选A.对于区间[－3，2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，等价于在区间[－3，2]上，f(x)max－f(x)min≤t.因为f(x)＝x3－3x－1，所以f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)．因为x∈[－3，2]，所以函数f(x)在[－3，－1]，[1，2]上单调递增，在[－1，1]上单调递减，所以f(x)max＝f(2)＝f(－1)＝1，f(x)min＝f(－3)＝－19，所以f(x)max－f(x)min＝20，所以t≥20，即实数t的最小值是20.二、填空题11．函数y＝x－2lnx的单调递增区间为________．解析：由题易知x＞0，故由y′＝1－＞0，得x＞2，故函数y＝x－2lnx的单调递增区间为(2，＋∞)．答案：(2，＋∞)12．在R上可导的函数f(x)的图象如图所示，则关于x的不等式x·f′(x)＜0的解集为________．2解析：原不等式化为或由函数图象知当...
