第三讲柯西不等式与排序不等式1．能够利用柯西不等式求一些特定函数的最值．2．认识柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义．(1)柯西不等式向量形式：|α||β|≥|α·β|.(2)(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.(3)＋≥(通常称作平面三角不等式)．3．用参数配方法讨论柯西不等式的一般情况：∑n,i＝1a·∑n,i＝1b≥(∑n,i＝1aibi)2.4．用向量递归方法讨论排序不等式．,1．在本讲教学中，教师应引导学生了解重要的不等式都有深刻的数学意义和背景，例如本讲给出的不等式大都有明确的几何背景．学生在学习中应该把握这些几何背景，理解这些不等式的实质．2．准确记忆柯西不等式的向量形式以及其他几何形式，深刻理解其几何意义，综合提升数学应用能力．3．1二维形式的柯西不等式1．利用柯西不等式证明不等式．2．能够利用柯西不等式求一些特定函数的最值．3．认识二维形式的柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义．1．定理1(二维形式的柯西不等式的代数形式)：设a，b，c，d均为实数，则____________________________________，其中等号当且仅当________时成立．答案：(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2ad＝bc2．定理2(柯西不等式的向量形式)：设α，β为两个平面向量，则________，其中等号当且仅当两个向量__________________时成立．答案：|α||β|≥|α·β|方向相同或相反(即两个向量共线)思考1几何意义：设α，β为平面上以原点O为起点的两个非零向量，它们的终点分别为A(a，b)，B(c，d)，那么它们的数量积α·β＝________，而|α|＝，|β|＝，所以柯西不1等式的几何意义就是________，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反(即两个向量共线)时成立．答案：ac＋bd|α||β|≥|α·β|3．定理3(三角形不等式)：设x1，y1，x2，y2，x3，y3为任意实数，则________________________________________________________________________．答案：＋≥思考2设a，b，c，d，m，n都是正实数，P＝＋，Q＝·，则P与Q的大小关系是________．解析：由柯西不等式，得P＝＋≤·＝Q，∴P≤Q.答案：P≤Q1．已知a，b∈R，a2＋b2＝4，则3a＋2b的最大值为()A．4B．2C．8D．9答案：B2．设x，y，m，n>0，且＋＝1，则u＝x＋y的最小值是()A．(＋)2B.＋C．m＋nD．(m＋n)2答案：A3．已知a，b>0，且a＋b＝1，则＋的最小值为________．解析：∵＋＝(a＋b)＝[()2＋()2]·≥＝＝＋.答案：＋4．若3x＋4y＝2，求x2＋y2的最小值及最小值点．解析：由柯西不等式有(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2，得25(x2＋y2)≥4，∴x2＋y2≥，当且仅当＝时等号成立，为求最小值点，需解∴因此，当x＝，y＝时，x2＋y2的最小值为，最小值点为.5．若直线＋＝1通过点M(cosα，sinα)，则()2A．a2＋b2≤1B．a2＋b2≥1C.＋≤1D.＋≥1答案：D6．函数y＝2＋的最大值为______．答案：37．已知2x2＋y2＝1，则2x＋y的最大值是______．答案：8．已知x，y∈R，且xy＝1，则的最小值为()A．4B．2C．1D.答案：A9．已知a＋b＝1，求证：a2＋b2＝1.证明：由柯西不等式，得(a＋b)2≤[a2＋(1－a2)][b2＋(1－b2)]＝1.当且仅当＝时，上式取等号，∴ab＝·，a2b2＝(1－a2)(1－b2)．于是a2＋b2＝1.10．设a＋b＝，求证：a8＋b8≥.证明：a8＋b8＝(12＋12)[(a4)2＋(b4)2]≥(1×a4＋1×b4)2＝(a4＋b4)2＝·＝×{(12＋12)[(a2)2＋(b2)2]}2≥(1×a2＋1×b2)2＝(a2＋b2)2＝·≥×(a＋b)2＝.∴原不等式成立．11．在半径为R的圆内，求周长最大的内接长方形．解析：如图，设内接长方形ABCD的长为x，则宽为，于是长方形ABCD的周长l＝2(x＋)＝2(1·x＋1·)，由柯西不等式有l≤2[x2＋()2](12＋12)＝2·2R＝4R，等号成立⇔＝⇔x＝R，此时宽为＝R，即长方形ABCD为正方形，故周长最大的内接长方形为正方形，其周长为4R.1．二维形式的柯西不等式是柯西不等式的最简单形式，学习柯西不等式时要注意它的几种形式间是等价的，也要关注结构形式的变化对数值的要求．2．理解柯西不等式，就要认真理解代数推导过程和向量形式、三角形式的推导过程，并从形和数两方面来理解和记忆．另外，对等号“＝”取到的条件是要从推导过程来理解的．34
