第三讲柯西不等式与排序不等式1.能够利用柯西不等式求一些特定函数的最值.2.认识柯西不等式的几种不同形式,理解它们的几何意义.(1)柯西不等式向量形式:|α||β|≥|α·β|.(2)(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2.(3)+≥(通常称作平面三角不等式).3.用参数配方法讨论柯西不等式的一般情况:∑n,i=1a·∑n,i=1b≥(∑n,i=1aibi)2.4.用向量递归方法讨论排序不等式.,1.在本讲教学中,教师应引导学生了解重要的不等式都有深刻的数学意义和背景,例如本讲给出的不等式大都有明确的几何背景.学生在学习中应该把握这些几何背景,理解这些不等式的实质.2.准确记忆柯西不等式的向量形式以及其他几何形式,深刻理解其几何意义,综合提升数学应用能力.3.1二维形式的柯西不等式1.利用柯西不等式证明不等式.2.能够利用柯西不等式求一些特定函数的最值.3.认识二维形式的柯西不等式的几种不同形式,理解它们的几何意义.1.定理1(二维形式的柯西不等式的代数形式):设a,b,c,d均为实数,则____________________________________,其中等号当且仅当________时成立.答案:(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2ad=bc2.定理2(柯西不等式的向量形式):设α,β为两个平面向量,则________,其中等号当且仅当两个向量__________________时成立.答案:|α||β|≥|α·β|方向相同或相反(即两个向量共线)思考1几何意义:设α,β为平面上以原点O为起点的两个非零向量,它们的终点分别为A(a,b),B(c,d),那么它们的数量积α·β=________,而|α|=,|β|=,所以柯西不1等式的几何意义就是________,其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反(即两个向量共线)时成立.答案:ac+bd|α||β|≥|α·β|3.定理3(三角形不等式):设x1,y1,x2,y2,x3,y3为任意实数,则________________________________________________________________________.答案:+≥思考2设a,b,c,d,m,n都是正实数,P=+,Q=·,则P与Q的大小关系是________.解析:由柯西不等式,得P=+≤·=Q,∴P≤Q.答案:P≤Q1.已知a,b∈R,a2+b2=4,则3a+2b的最大值为()A.4B.2C.8D.9答案:B2.设x,y,m,n>0,且+=1,则u=x+y的最小值是()A.(+)2B.+C.m+nD.(m+n)2答案:A3.已知a,b>0,且a+b=1,则+的最小值为________.解析:∵+=(a+b)=[()2+()2]·≥==+.答案:+4.若3x+4y=2,求x2+y2的最小值及最小值点.解析:由柯西不等式有(x2+y2)(32+42)≥(3x+4y)2,得25(x2+y2)≥4,∴x2+y2≥,当且仅当=时等号成立,为求最小值点,需解∴因此,当x=,y=时,x2+y2的最小值为,最小值点为.5.若直线+=1通过点M(cosα,sinα),则()2A.a2+b2≤1B.a2+b2≥1C.+≤1D.+≥1答案:D6.函数y=2+的最大值为______.答案:37.已知2x2+y2=1,则2x+y的最大值是______.答案:8.已知x,y∈R,且xy=1,则的最小值为()A.4B.2C.1D.答案:A9.已知a+b=1,求证:a2+b2=1.证明:由柯西不等式,得(a+b)2≤[a2+(1-a2)][b2+(1-b2)]=1.当且仅当=时,上式取等号,∴ab=·,a2b2=(1-a2)(1-b2).于是a2+b2=1.10.设a+b=,求证:a8+b8≥.证明:a8+b8=(12+12)[(a4)2+(b4)2]≥(1×a4+1×b4)2=(a4+b4)2=·=×{(12+12)[(a2)2+(b2)2]}2≥(1×a2+1×b2)2=(a2+b2)2=·≥×(a+b)2=.∴原不等式成立.11.在半径为R的圆内,求周长最大的内接长方形.解析:如图,设内接长方形ABCD的长为x,则宽为,于是长方形ABCD的周长l=2(x+)=2(1·x+1·),由柯西不等式有l≤2[x2+()2](12+12)=2·2R=4R,等号成立⇔=⇔x=R,此时宽为=R,即长方形ABCD为正方形,故周长最大的内接长方形为正方形,其周长为4R.1.二维形式的柯西不等式是柯西不等式的最简单形式,学习柯西不等式时要注意它的几种形式间是等价的,也要关注结构形式的变化对数值的要求.2.理解柯西不等式,就要认真理解代数推导过程和向量形式、三角形式的推导过程,并从形和数两方面来理解和记忆.另外,对等号“=”取到的条件是要从推导过程来理解的.34