3.3.4两条平行直线间的距离学习目标掌握两平行线之间的距离公式，并会求两平行线之间的距离.知识点两平行直线间的距离1.概念：夹在两条平行直线间的的长度就是两条平行直线间的距离.2.公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝.答两条平行直线的方程都是一般式，并且x，y的系数分别对应相等.公垂线段|C1－C2|A2＋B2思考两条平行直线间的距离公式写成d＝|C1－C2|A2＋B2时对两条直线应有什么要求？知识梳理题型一两平行线间的距离例2求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线的方程.题型探究解方法一设所求直线的方程为5x－12y＋m＝0， 两直线间的距离为2，∴|6－m|52＋－122＝2，∴m＝32或m＝－20.∴所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0.方法二设所求直线的方程为5x－12y＋c＝0.在直线5x－12y＋6＝0上取一点P00，12，∴所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0.点P0到直线5x－12y＋c＝0的距离为：d＝－12×12＋c52＋－122＝|c－6|13，由题意得|c－6|13＝2，则c＝32或c＝－20.1.针对这个类型的题目一般有两种思路：(1)利用“化归”思想将两平行直线间的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离.(2)利用两条平行直线间距离公式d＝|C1－C2|A2＋B2.2.当两直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合来解决.(1)两直线都与x轴垂直时，l1：x＝x1，l2：x＝x2，则d＝|x2－x1|；(2)两直线都与y轴垂直时，l1：y＝y1，l2：y＝y2，则d＝|y2－y1|.反思与感悟跟踪训练2直线l1过点A(0，1)，l2过点B(5，0)，如果l1∥l2，且l1与l2间的距离为5，求l1，l2的方程.解若直线l1，l2的斜率存在，设直线l1与l2的斜率为k，由斜截式得l1的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0；由点斜式可得l2的方程为y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0.在直线l1上取点A(0，1)，则点A到直线l2的距离d＝|1＋5k|1＋k2＝5，∴25k2＋10k＋1＝25k2＋25，∴k＝125.∴l1的方程为12x－5y＋5＝0，l2的方程为12x－5y－60＝0.若直线l1，l2的斜率不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，它们之间的距离为5，满足条件.则满足条件的直线方程有以下两组：l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0；l1：x＝0，l2：x＝5.题型三距离公式的综合应用例3已知三条直线l1：2x－y＋a＝0(a＞0)，l2：－4x＋2y＋1＝0和l3：x＋y－1＝0，且l1与l2的距离是7510.(1)求a的值；解因为l2可化为2x－y－12＝0，所以l1与l2的距离为d＝a－－1222＋12＝7510.因为a＞0，所以a＝3.(2)能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：①点P是第一象限的点；②点P到l1的距离是点P到l2的距离的12；③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是2∶5.若能，求点P的坐标；若不能，请说明理由.解设存在点P(x0，y0)满足②，则点P在与l1，l2平行的直线l′：2x－y＋c＝0上，且|c－3|5＝12·c＋125，即c＝132或c＝116.所以满足条件②的点P满足2x0－y0＋132＝0或2x0－y0＋116＝0.若点P满足条件③，由点到直线的距离公式，有|2x0－y0＋3|5＝25·|x0＋y0－1|2，即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|.所以x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0.因为点P在第一象限，所以3x0＋2＝0不可能.联立方程2x0－y0＋132＝0和x0－2y0＋4＝0，解得x0＝－3，y0＝12(舍去)，联立方程2x0－y0＋116＝0和x0－2y0＋4＝0，解得x0＝19，y0＝3718.所以P19，3718即为同时满足条件的点.反思与感悟解决探究性问题时，可先假设需探究的问题存在，以此为出发点寻找满足的条件.若求出的结论符合要求，则问题有解.若求出的结论与要求不符，则说明原探究问题无解.另外，运用公式解决问题要注意适用的范围及使用特点.跟踪训练3已知A(4，－3)，B(2，－1)和直线l：4x＋3y－2＝0，求一点P，使PA＝PB，且点P到直线l的距离等于2.解方法一设点P的坐标为P(a，b)，由PA＝PB，得(4－a)2＋(－3－b)2＝(2－a)2＋(－1－b)2，①化简，得a－b＝5.由点P到直线l的距离等于2，得|4a＋3b－2|42＋32＝2.②由①②方程联立解得a＝1，b＝－4，或a＝...
