第2讲函数与方程思想、数形结合思想一、选择题1．已知向量a＝(λ，1)，b＝(λ＋2，1)，若|a＋b|＝|a－b|，则实数λ的值为()A．－1B．2C．1D．－2解析：选A.法一：由|a＋b|＝|a－b|，可得a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b，所以a·b＝0，故a·b＝(λ，1)·(λ＋2，1)＝λ2＋2λ＋1＝0，解得λ＝－1.法二：a＋b＝(2λ＋2，2)，a－b＝(－2，0)．由|a＋b|＝|a－b|，可得(2λ＋2)2＋4＝4，解得λ＝－1.2．(2019·高考全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则()A．an＝2n－5B．an＝3n－10C．Sn＝2n2－8nD．Sn＝n2－2n解析：选A.法一：设等差数列{an}的公差为d，因为所以解得所以an＝a1＋(n－1)d＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝na1＋d＝n2－4n.故选A.法二：设等差数列{an}的公差为d，因为所以解得选项A，a1＝2×1－5＝－3；选项B，a1＝3×1－10＝－7，排除B；选项C，S1＝2－8＝－6，排除C；选项D，S1＝－2＝－，排除D.故选A.3．已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围为()A．(1，＋∞)B．(－1，3)C．(－∞，1)D．(2，4)解析：选A.画出f(x)图象，如图所示，则由方程有且仅有一个实根可得f(x)的图象与直线y＝－x＋a的图象只有一个交点，首先让直线过(0，1)(这是我们所说的初始位置，因为当直线向下平移时你会发现有两个交点)，由图可知，只有向上平移才能满足f(x)图象与直线y＝－x＋a只有一个交点，所以a的取值范围是(1，＋∞)．4．(2018·高考全国卷Ⅲ)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝|OP|，则C的离心率为()A.B．2C.D.解析：选C.不妨设一条渐近线的方程为y＝x，则F2到y＝x的距离d＝＝b，在Rt△F2PO中，|F2O|＝c，所以|PO|＝a，所以|PF1|＝a，又|F1O|＝c，所以在△F1PO与Rt△F2PO中，根据余弦定理得cos∠POF1＝＝－cos∠POF2＝－，即3a2＋c2－(a)2＝0，得3a2＝c2，所以e＝＝.5．已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正棱柱的体积取最大值时，其高的值为()A．3B.C．2D．2解析：选D.设正六棱柱的底面边长为a，高为h，则可得a2＋＝9，即a2＝9－，那么正六棱柱的体积V＝×h＝h＝，令y＝－＋9h，则y′＝－＋9，令y′＝0，解得h＝2，易知当h＝2时，y取最大值，即正六棱柱的体积最大．6．设函数f(x)在R上存在导函数f′(x)，对于任意的实数x，都有f(x)＋f(－x)＝2x2，当x<0时，f′(x)＋1<2x，若f(a＋1)≤f(－a)＋2a＋1，则实数a的最小值为()A．－B．－1C．－D．－2解析：选A.设g(x)＝f(x)－x2，则g(x)＋g(－x)＝0，所以g(x)为R上的奇函数．当x<0时，g′(x)＝f′(x)－2x<－1<0，所以g(x)在(－∞，0)上单调递减，所以g(x)在R上单调递减．因为f(a＋1)≤f(－a)＋2a＋1，所以f(a＋1)－(a＋1)2≤f(－a)－(－a)2，即g(a＋1)≤g(－a)，所以a＋1≥－a，解得a≥－，所以实数a的最小值为－.二、填空题7．已知等差数列{an}满足3a4＝7a7，a1>0，Sn是数列{an}的前n项和，则Sn取得最大值时n＝________．解析：设等差数列{an}的公差为d，因为3a4＝7a7，所以3(a1＋3d)＝7(a1＋6d)，所以4a1＝－33d.因为a1>0，所以d<0，Sn＝na1＋d＝n＋d＝＝，所以n＝9时，Sn取得最大值．答案：98．如图，设直线m，n相交于点O，且夹角为30°，点P是直线m上的动点，点A，B是直线n上的定点．若|OA|＝|AB|＝2，则PA·PB的最小值是________．解析：以OB所在直线为x轴，过点O且垂直于AB的直线为y轴，建立如图的坐标系，则A(2，0)，B(4，0)，设P，则PA＝，PB＝，所以PA·PB＝(2－a)(4－a)＋a2＝a2－6a＋8＝＋≥，所以PA·PB的最小值为.答案：9．若不等式≤k(x＋2)－的解集为区间[a，b]，且b－a＝2，则k＝________．解析：如图，分别作出直线y＝k(x＋2)－与半圆y＝.由题意，知直线在半圆的上方，由b－a＝2，可知b＝3，a＝1，所以直线y＝k(x＋2)－过点(1，2)，则k＝.答案：三、解答题10．已知正项等比数列{an}中，a4＝81，且a2，a3的等差中项为(a1＋a2)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝log3a2n－1，数列{bn}的前n项和为Sn，数列{cn}满足cn＝，Tn为数列{cn}的前n项和，求Tn.解：(1)设等...
