3.1.5空间向量运算的坐标表示[课时作业][A组基础巩固]1．已知a＝(1，－2,1)，a－b＝(－1,2，－1)，则b等于()A．(2，－4,2)B．(－2,4，－2)C．(－2,0，－2)D．(2,1，－3)解析：b＝a－(－1,2，－1)＝(1，－2,1)－(－1,2，－1)＝(2，－4,2)，故选A.答案：A2．若非零向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则＝＝是a与b同向或反向的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：若＝＝，则a与b同向或反向，反之不成立．答案：A3.以正方体ABCDA1B1C1D1的顶点D为坐标原点O，如图建立空间直角坐标系，则与DB1共线的向量的坐标可以是()A．(1，，)B．(1,1，)C．(，，)D．(，，1)解析：设正方体的棱长为1，则由图可知D(0,0,0)，B1(1,1,1)，∴DB1＝(1,1,1)，∴与DB1共线的向量的坐标可以是(，，)．答案：C4．已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是()A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形解析：AB＝(3,4，－8)，AC＝(5,1，－7)，BC＝(2，－3,1)，∴|AB|＝＝，|AC|＝＝，|BC|＝＝，∴|AC|2＋|BC|2＝75＋14＝89＝|AB|2.∴△ABC为直角三角形．答案：C5．已知向量a＝(2，－1,2)，b＝(2,2,1)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为()A.B.C．4D．8解析：cos〈a，b〉＝＝，sin〈a，b〉＝＝＝，S＝|a||b|sin〈a，b〉＝3×3×＝.答案：B6．已知a＝(λ＋1,0,2λ)，b＝(6，2μ－1，2)，且a∥b，则λ＋μ＝________.解析： a∥b，∴a＝tb.∴∴1∴λ＋μ＝＋＝.答案：7．已知点A(λ＋1，μ－1,3)，B(2λ，μ，λ－2μ)，C(λ＋3，μ－3,9)三点共线，则实数λ＋μ＝________.解析： AB＝(λ－1,1，λ－2μ－3)，AC＝(2，－2,6)．若A，B，C三点共线，则AB∥AC，即＝－＝，解得λ＝0，μ＝0，所以λ＋μ＝0.答案：08．已知a＝(1,0,1)，b＝(－2，－1,1)，c＝(3,1,0)，则|a－b＋2c|＝________.解析： a＝(1,0,1)，b＝(－2，－1,1)，c＝(3,1,0)，∴a－b＋2c＝(1,0,1)－(－2，－1,1)＋(6,2,0)＝(9,3,0)，∴|a－b＋2c|＝＝＝3.答案：39．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．(1)若AP∥BC，且|AP|＝2，求点P的坐标；(2)求以AB，AC为邻边的平行四边形的面积．解析：(1) AP∥BC，∴可设AP＝λBC，又BC＝(3，－2，－1)，∴AP＝(3λ，－2λ，－λ)，又|AP|＝2，∴＝2，∴λ＝±2，∴AP＝(6，－4，－2)或AP＝(－6,4,2)．设点P的坐标为(x，y，z)，∴AP＝(x，y－2，z－3)．∴或解得或故所求点P的坐标为(6，－2,1)或(－6,6,5)．(2)由题中条件可知：AB＝(－2，－1,3)，AC＝(1，－3，2)．∴cos〈AB，AC〉＝＝＝＝，∴sin〈AB，AC〉＝.∴以AB，AC为邻边的平行四边形的面积S＝|AB||AC|sin〈AB，AC〉＝14×＝7.10.如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等，P为A1B上的点，A1P＝λA1B，且PC⊥AB.求：(1)λ的值；(2)异面直线PC与AC1所成角的余弦值．解析：(1)设正三棱柱的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，－1,0)，B(，0,0)，C(0，1,0)，A1(0，－1,2)，B1(，0,2)，C1(0,1,2)，于是AB＝(，1,0)，CA1＝(0，－2，2)，A1B＝(，1，－2)．因为PC⊥AB，所以CP·AB＝0，即(CA1＋A1P)·AB＝0，也即(CA1＋λA1B)·AB＝0.2故λ＝－＝.(2)由(1)知CP＝，AC1＝(0,2,2)，cos〈CP，AC1〉＝＝＝－，所以异面直线PC与AC1所成角的余弦值是.[B组能力提升]1．已知A(1,0,0)，B(0，－1,1)，O(0,0,0)，OA＋λOB与OB的夹角为120°，则λ的值为()A．±B．C．－D．±解析： OA＝(1,0,0)，OB＝(0，－1,1)，∴OA＋λOB＝(1，－λ，λ)，∴(OA＋λOB)·OB＝λ＋λ＝2λ，|OA＋λOB|＝＝，|OB|＝.∴cos120°＝＝－，∴λ2＝.又<0，∴λ＝－.答案：C2.如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()A.B.C.D.解析：设|CB|＝a，则|CA|＝|CC1|＝2a，A(2a,0,0)，B(0,0，a)，C1(0,2a,0)，B1(0,2a，a)，∴AB1＝(－2a,2a，a)，BC1＝(0,2a，－a)，∴cos〈AB1，BC1〉＝＝，故选A.答案：A3．若A(3cosα，3sinα，1)，B(2cosθ，2sinθ，1)，则|AB|的取值范围是_____．解析：|AB|＝＝＝，∴1≤|AB|...
