【创新方案】（新课标）2017届高考数学总复习课后作业（六十九）文新人教A版1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c，证明：(1)＋＋＋abc≥2；(2)＋＋≥9.2．(2016·云南模拟)已知a是常数，对任意实数x，不等式|x＋1|－|2－x|≤a≤|x＋1|＋|2－x|都成立．(1)求a的值；(2)设m>n>0，求证：2m＋≥2n＋a.3．设函数f(x)＝|x－4|＋|x－3|，f(x)的最小值为m.(1)求m的值；(2)当a＋2b＋3c＝m(a，b，c∈R)时，求a2＋b2＋c2的最小值．4．设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明：(1)ab＋bc＋ac≤；(2)＋＋≥1.5．(2016·长春质检)(1)已知a，b都是正数，且a≠b，求证：a3＋b3>a2b＋ab2；(2)已知a，b，c都是正数，求证：≥abc.6．设a，b，c为正数且a＋b＋c＝1，求证：2＋2＋2≥.答案1．证明：(1)因为a，b，c为正实数，由基本(均值)不等式可得＋＋≥3，即＋＋≥，所以＋＋＋abc≥＋abc，而＋abc≥2＝2，所以＋＋＋abc≥2.当且仅当a＝b＝c＝时取等号．(2)＋＋≥3＝≥＝，所以＋＋≥9，当且仅当A＝B＝C＝时取等号．2．解：(1)设f(x)＝|x＋1|－|2－x|，则f(x)＝∴f(x)的最大值为3.∵对任意实数x，|x＋1|－|2－x|≤a都成立，即f(x)≤a，∴a≥3.设h(x)＝|x＋1|＋|2－x|＝则h(x)的最小值为3.∵对任意实数x，|x＋1|＋|2－x|≥a都成立，即h(x)≥a，∴a≤3.∴a＝3.(2)由(1)知a＝3.∵2m＋－2n＝(m－n)＋(m－n)＋，且m>n>0，∴(m－n)＋(m－n)＋≥3＝3，∴2m＋≥2n＋a.3．解：(1)法一：f(x)＝|x－4|＋|x－3|≥|(x－4)－(x－3)|＝1，故函数f(x)的最小值为1，即m＝1.法二：f(x)＝当x≥4时，f(x)≥1；当x<3时，f(x)>1；当3≤x＜4时，f(x)＝1，故函数f(x)的最小值为1，即m＝1.(2)(a2＋b2＋c2)(12＋22＋32)≥(a＋2b＋3c)2＝1，故a2＋b2＋c2≥，当且仅当a＝，b＝，c＝时取等号．故a2＋b2＋c2的最小值为.4．证明：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c.所以＋＋≥1.5．证明：(1)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝(a＋b)(a－b)2.因为a，b都是正数，所以a＋b>0.又因为a≠b，所以(a－b)2>0.于是(a＋b)(a－b)2>0，即(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，所以a3＋b3>a2b＋ab2.(2)因为b2＋c2≥2bc，a2>0，所以a2(b2＋c2)≥2a2bc.①同理，b2(a2＋c2)≥2ab2c.②c2(a2＋b2)≥2abc2.③①②③相加得2(a2b2＋b2c2＋c2a2)≥2a2bc＋2ab2c＋2abc2，从而a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c)．由a，b，c都是正数，得a＋b＋c>0，因此≥abc.6．证明：2＋2＋c＋2＝(12＋12＋12)2＋2＋2≥1×＋1×b＋＋1×2＝1＋＋＋2＝1＋(a＋b＋c)＋＋2≥×(1＋9)2＝.即原不等式成立．
