探究与发现组合数的两个性质-(4)VIP免费

第一课时1.2排列与组合1.2.2组合（一）瞿良彦学什么——学习目标1．记住组合及组合数的概念．2．能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式解决简单的组合问题．怎么学——学习过程1．排列与组合有什么联系和区别？答排列与组合都是从n个不同元素中取出m个元素；不同之处是组合选出的元素没有顺序，而排列选出的元素是有顺序的．组合是选择的结果，排列是选择后再排序的结果．2．两个相同的排列有什么特点？两个相同的组合呢？答两个相同的排列需元素相同且元素排列顺序相同．两个相同的组合是只要元素相同，不看元素顺序如何．二、自主尝试练习[预习导引]1．组合的概念一般地，从n个不同元素中__________________________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．取出m(m≤n)个元素合成一组2．组合数的概念从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的____________的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号____表示．所有不同组合Cmn3．组合数公式Cmn＝AmnAmm＝________________________________＝__________________(n，m∈N*，m≤n).n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）m！n！m！（n－m）！三、小组探究、合作释疑•探究点一：课堂讲义P13例一•探究点二:课堂讲义P13例二•探究点三：课堂讲义P13例三要点一组合概念的理解例1判断下列各事件是排列问题还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数．(1)10人相互通一次电话，共通多少次电话？(2)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，共进行多少场次？(3)从10个人中选出3个作为代表去开会，有多少种选法？(4)从10个人中选出3人担任不同学科的课代表，有多少种选法？解(1)是组合问题，因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了一次电话，没有顺序的区别，组合数为C210＝45.(2)是组合问题，因为每两支球队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别，组合数为C210＝45.(3)是组合问题，因为3个代表之间没有顺序的区别，组合数为C310＝120.(4)是排列问题，因为3个人担任哪一科的课代表是有顺序区别的，排列数为A310＝720.规律方法排列、组合问题的判断方法(1)区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序．(2)区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．要点二组合数公式的应用例2(1)计算：C9799＋C9899＋C99100；(2)求值：C5－nn＋C9－nn＋1；(3)解方程：C3n＋618＝C4n－218.解(1)C9798＋C9899＋C99100＝C98100＋C99100＝C99101＝C2101＝5050；(2)由组合数定义知：0≤5－n≤n，0≤9－n≤n＋1，∴4≤n≤5，又 n∈N*，∴n＝4或5.当n＝4时，C5－nn＋C9－nn＋1＝C14＋C55＝5；当n＝5时，C5－nn＋C9－nn＋1＝C05＋C46＝16.(3)由原方程及组合数性质可知3n＋6＝4n－2，或3n＋6＝18－(4n－2)，∴n＝2，或n＝8，而当n＝8时，3n＋6＝30＞18，不符合组合数定义，故舍去．因此n＝2.规律方法(1)公式Cmn＝AmnAmm＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）m！，一般用于求值计算；(2)公式Cmn＝n！m！（n－m）！(m，n∈N*，且m≤n)，一般用于化简证明．在具体选择公式时要根据题目特点正确选择．(3)根据题目特点合理选用组合数的两个性质Cmn＝Cn－mn，Cmn＋1＝Cmn＋Cm－1n，能起到简化运算的作用，需熟练掌握．要点三组合的简单应用例3一个口袋里装有7个白球和1个红球，从口袋中任取5个球．(1)共有多少种不同的取法？(2)其中恰有一个红球，共有多少种不同的取法？(3)其中不含红球，共有多少种不同的取法？解(1)从口袋里的8个球中任取5个球，不同取法的种数是C58＝C38＝8×7×63×2×1＝56.(2)从口袋里的8个球中任取5个球，其中恰有一个红球，可以分两步完成：第一步，从7个白球中任取4个白球，有C47种取法；第二步，把1个红球取出，有C11种取法．故不同取法的种数是：C47·C11＝C47＝C37＝35.(3)从口袋里任取5个球，其中不含红球，只需从7个白球中任取5个白球即可，不同取法的种数是C57＝C27＝7×62×1＝21.规律方法基本组合问题的解法：(1)判断...