专题5.2平面向量的基本定理及坐标表示一、填空题1．已知平面向量a＝(1，－2)，b＝(2，m)，若a∥b，则3a＋2b＝【解析】∵a∥b，∴m＋4＝0，∴m＝－4，∴b＝(2，－4)，∴3a＋2b＝3(1，－2)＋2(2，－4)＝(7，－14)．2．设向量a＝(x,1)，b＝(4，x)，且a，b方向相反，则x的值是【解析】因为a与b方向相反，所以b＝ma，m<0，则有(4，x)＝m(x,1)，∴解得m＝±2.又m<0，∴m＝－2，x＝m＝－2.3．已知在平行四边形ABCD中，�AD＝(2,8)，�AB＝(－3,4)，对角线AC与BD相交于点M，则�AM＝【解析】因为在平行四边形ABCD中，有�AC＝�AB＋�AD，�AM＝�AC，所以�AM＝(�AB＋�AD)＝[(－3,4)＋(2,8)]＝×(－1,12)＝4．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d＝5．已知平行四边形ABCD中，�AD＝(3,7)，�AB＝(－2,3)，对角线AC与BD交于点O，则�CO的坐标为【解析】�AC＝�AB＋�AD＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)．∴�OC＝�AC＝.∴�CO＝.6．在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，C为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC＝，|�OC|＝2，若�OC＝λ�OA＋μ�OB，则λ＋μ＝【解析】因为|�OC|＝2，∠AOC＝，所以C(，)，又�OC＝λ�OA＋μ�OB，所以(，)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝，λ＋μ＝2.7．在△ABC中，点P在BC上，且�BP＝2�PC，点Q是AC的中点，若�PA＝(4,3)，�PQ＝(1,5)，则�BC＝________.【解析】�AQ＝�PQ－�PA＝(1,5)－(4,3)＝(－3,2)，∴�AC＝2�AQ＝2(－3,2)＝(－6,4)．�PC＝�PA＋�AC＝(4,3)＋(－6,4)＝(－2,7)，∴�BC＝3�PC＝3(－2,7)＝(－6,21)．8．已知向量�AC，�AD和�AB在正方形网格中的位置如图所示，若�AC＝λ�AB＋μ�AD，则λμ＝________.【解析】建立如图所示的平面直角坐标系xAy，则�AC＝(2，－2)，�AB＝(1,2)，�AD＝1(1,0)，由题意可知(2，－2)＝λ(1，2)＋μ(1,0)，即解得所以λμ＝－3.9．P＝{a|a＝(－1,1)＋m(1,2)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1，－2)＋n(2,3)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q等于________．【解析】P中，a＝(－1＋m,1＋2m)，Q中，b＝(1＋2n，－2＋3n)．则得此时a＝b＝(－13，－23)．10．在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点．若�AB＝λ�AM＋μ�AN，则λ＋μ＝________.二、解答题11．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC，E，F分别为线段AD与BC的中点．设�BA＝a，�BC＝b，试用a，b为基底表示向量�EF，�DF，�CD.解：�EF＝�EA＋�AB＋�BF＝－b－a＋b＝b－a，�DF＝�DE＋�EF＝－b＋＝b－a，�CD＝�CF＋�FD＝－b－＝a－b.12.给定两个长度为1的平面向量�OA和�OB，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上运动．若�OC＝x�OA＋y�OB，其中x，y∈R，求x＋y的最大值．23
