名校专题----圆锥曲线培优训练31、点P在以为焦点的双曲线上，已知，，O为坐标原点．（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）过点P作直线分别与双曲线渐近线相交于两点，且，，求双曲线E的方程；（Ⅲ）若过点（为非零常数）的直线与（2）中双曲线E相交于不同于双曲线顶点的两点M、N，且（为非零常数），问在轴上是否存在定点G，使？若存在，求出所有这种定点G的坐标；若不存在，请说明理由．解：（I）（II）渐近线为设，代入化简（III）假设在轴上存在定点使，设联立与的方程得故由∴（3）即为，将（4）代入（1）（2）有代入（5）得故在轴上存在定点使。2、已知F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，其左准线与x轴相交于点N，并且满足，设A、B是上半椭圆上满足的两点，其中（1）求此椭圆的方程及直线AB的斜率的取值范围；（2）设A、B两点分别作此椭圆的切线，两切线相交于一点P，求证：点P在一条定直线上，并求点P的纵坐标的取值范围.解：（1）由于，解得，从而所求椭圆的方程为三点共线，而点N的坐标为（－2，0）.设直线AB的方程为，其中k为直线AB的斜率，依条件知k≠0.由消去x得，即根据条件可知解得设，则根据韦达定理，得又由从而消去令，则由于上的减函数，从而，即，，，而因此直线AB的斜率的取值范围是（2）上半椭圆的方程为求导可得，所以两条切线的斜率分别为[解法一]：切线PA的方程是又，从而切线PA的方程为同理可得切线PB的方程为由可解得点P的坐标再由∴又由（1）知，∴因此点P在定直线上，并且点P的纵坐标的取值范围是[1，][解法二]：设点P的从标为，则可得切线PA的方程是而点在此切线上，所以有即所以有，①同理可得②根据①和②可知直线AB的方程为，而直线AB过定点N（－2，0）∴直线AB的方程为∴又由（1）知，所以有因此点P在定直线上，并且点P的纵坐标的取值范围是。3、设双曲线C：的左、右顶点分别为A1、A2，垂直于x轴的直线m与双曲线C交于不同的两点P、Q。（Ⅰ）若直线m与x轴正半轴的交点为T，且，求点T的坐标；（Ⅱ）求直线A1P与直线A2Q的交点M的轨迹E的方程；（Ⅲ）过点F（1，0）作直线l与（Ⅱ）中的轨迹E交于不同的两点A、B，设，若（T为（Ⅰ）中的点）的取值范围。解：（Ⅰ）由题，得，设则由…………①又在双曲线上，则…………②联立①、②，解得由题意，∴点T的坐标为（2，0）…………3分（Ⅱ）设直线A1P与直线A2Q的交点M的坐标为（x，y）由A1、P、M三点共线，得…………③…………1分由A2、Q、M三点共线，得…………④…………1分联立③、④，解得…………1分 在双曲线上，∴∴轨迹E的方程为…………1分（Ⅲ）容易验证直线l的斜率不为0。故可设直线l的方程为中，得设则由根与系数的关系，得……⑤……⑥…………2分 ∴有将⑤式平方除以⑥式，得…………1分由…………1分 又故令∴，即∴而，∴∴4、在平面直角坐标系内有两个定点F1、F2和动点P，F1、F2的坐标分别为F1（－1，0），F2（1，0），动点P满足动点P的轨迹为曲线C，曲线C关于直线y=x的对称曲线为曲线C′，直线与曲线C′交于A、B两点，O是C′的对称中心，△ABO的面积为。（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）求m的值。解：（1）设P点坐标为（x,y）则所以曲线C的方程为（2）曲线C是以（－3，0）为圆心，为半径的圆，曲线C′也应该是一个半径为的圆，点（－3，0）关于直线y=x的对称点的坐标为（0，－3），所以曲线C′的方程为又O是C′对称中心，则O（0，－3）到直线的距离d为所以，。5、如图，已知过点的直线与椭圆交于不同的两点、，点是弦的中点．（Ⅰ）若，求点的轨迹方程；（Ⅱ）求的取值范围．解：（Ⅰ）①若直线∥轴，则点为；②设直线，并设点的坐标分别是DOABMPxyl，由消去，得，①由直线与椭圆有两个不同的交点，可得，即，所以．由及方程①，得，，即由于（否则，直线与椭圆无公共点），将上方程组两式相除得，，代入到方程，得，整理，得（．综上所述，点的轨迹方程为（．（Ⅱ）①当∥轴时，分别是椭圆长轴的两个端点，则点在原点处，所以，，所以，；②由方程①，得所以，，，所以．因为，所以，所以，所以．综上所述，．6、已知椭圆的焦点是，和，，离心率为．（1）求椭圆上的点到直线距离的最大值；（2）若...
