2.3.1双曲线的标准方程[A基础达标]1．已知双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为()A．B．C．D．(，0)解析：选C．将双曲线方程化成标准方程为－＝1，所以a2＝1，b2＝，所以c＝＝，故右焦点坐标为.2．双曲线－＝1的两个焦点为F1，F2，若双曲线上一点P到F1的距离为12，则P到F2的距离为()A．17B．22C．7或17D．2或22解析：选D．由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝10，又|PF1|＝12，则P到F2的距离为2或22，经检验，均符合题意．故选D．3．已知双曲线C的右焦点为F(3，0)，＝，则C的标准方程是()A．－＝1B．－＝1C．－＝1D．－＝1解析：选B．由题意可知c＝3，a＝2，b＝＝＝，故双曲线的标准方程为－＝1.4．设F1，F2是双曲线－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上，当△F1PF2的面积为2时，PF1·PF2的值为()A．2B．3C．4D．6解析：选B．设点P(x0，y0)，依题意得，|F1F2|＝2＝4，S＝|F1F2||y0|＝2|y0|＝2，所以|y0|＝1.又－y＝1，所以x＝3(y＋1)＝6.所以PF1·PF2＝(－2－x0，－y0)·(2－x0，－y0)＝x＋y－4＝3.5．已知双曲线－＝1的焦点为F1，F2，点M在双曲线上，且MF1⊥x轴，则F1到直线F2M的距离为()A．B．C．D．解析：选C．不妨设点F1(－3，0)，容易计算得出|MF1|＝＝，|MF2|－|MF1|＝2.解得|MF2|＝.而|F1F2|＝6，在直角三角形MF1F2中，由|MF1|·|F1F2|＝|MF2|·d，求得F1到直线F2M的距离d为.16．若点P到点(0，－3)与到点(0，3)的距离之差为2，则点P的轨迹方程为________．解析：由题意并结合双曲线的定义，可知点P的轨迹方程为双曲线的上支，且c＝3，2a＝2，则a＝1，b2＝9－1＝8，所以点P的轨迹方程为y2－＝1(y≥1)．答案：y2－＝1(y≥1)7．设一圆过双曲线－＝1一个焦点和双曲线与x轴的一个交点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是________．解析：设圆心为P(x0，y0)，则|x0|＝＝4，代入－＝1，得y＝，所以|OP|＝＝.答案：8．设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积为________．解析：由题意知|PF1|－|PF2|＝2a＝2，所以|PF2|－|PF2|＝2，所以|PF2|＝6，|PF1|＝8，又|F1F2|＝10，所以|PF2|2＋|PF1|2＝|F1F2|2，所以△PF1F2为直角三角形，且∠F1PF2＝90°，所以S＝24.答案：249．双曲线－＝1的一个焦点到原点的距离为3，求m的值．解：当焦点在x轴上时，有m>5，则c2＝m＋m－5＝9，所以m＝7；当焦点在y轴上时，有m<0，则c2＝－m＋5－m＝9，所以m＝－2，综上所述，m＝7或m＝－2.10．焦点在x轴上的双曲线过点P(4，－3)，且点Q(0，5)与两焦点的连线互相垂直，求此双曲线的标准方程．解：因为双曲线焦点在x轴上，所以设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，F1(－c，0)，F2(c，0)．因为双曲线过点P(4，－3)，所以－＝1.①又因为点Q(0，5)与两焦点的连线互相垂直，所以QF1·QF2＝0，即－c2＋25＝0.解得c2＝25.②又c2＝a2＋b2，③所以由①②③可解得a2＝16或a2＝50(舍去)．所以b2＝9，所以所求的双曲线的标准方程是－＝1.[B能力提升]11．已知椭圆＋＝1和双曲线－y2＝1的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，那么cos∠F1PF2的值是()A．B．C．D．解析：选A．不妨设点P在第一象限，F1，F2分别为左、右焦点，因为P在椭圆上，所以|2PF1|＋|PF2|＝2.又P在双曲线上，所以|PF1|－|PF2|＝2，两式联立，得|PF1|＝＋，|PF2|＝－.又|F1F2|＝4，根据余弦定理可以求得cos∠F1PF2＝.12．已知双曲线的一个焦点为F1(－，0)，点P在双曲线上，且线段PF1的中点坐标为(0，2)，则此双曲线的标准方程是()A．－y2＝1B．x2－＝1C．－＝1D．－＝1解析：选B．由双曲线的焦点可知c＝，线段PF1的中点坐标为(0，2)，所以P(，4)．设右焦点为F2，则有|PF2|＝4，且PF2⊥x轴，点P在双曲线右支上．所以|PF1|＝＝＝6，所以|PF1|－|PF2|＝6－4＝2＝2a，所以a＝1，b2＝c2－a2＝4，所以双曲线的方程为x2－＝1，选B．13．已知双曲线－＝1，F1、F2是其两个焦点，点M在双曲线上．若∠F1MF2＝90°，求△F1MF2的面积．解：由双曲线方程知a＝2，b＝3，c＝，不妨设|MF1|＝r1，|MF2|＝r2(r1＞r2)．由双曲线定义得r1－r2＝2a＝4.两边平方得r＋r－2r1·r2＝16，即|F1F2|2－4S＝16...
