第一章计数原理1.3二项式定理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质A级基础巩固一、选择题1．(1－x)13的展开式中系数最小的项为()A．第六项B．第七项C．第八项D．第九项解析：展开式中共有14项，中间两项(第七、八项)的二项式系数最大．由于该二项展开式中二项式的系数和项的系数满足：奇数项相等，偶数项互为相反数．故系数最小的项为第八项，系数最大的项为第七项．答案：C2．(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展开式的各项系数和是()A．2n＋1B．2n＋1＋1C．2n＋1－1D．2n＋1－2解析：令x＝1，可知其各项系数和为2＋22＋…＋2n＝2n＋1－2.答案：D3．已知(1－2x)n展开式中，奇数项的二项式系数之和为64，则(1－2x)n(1＋x)展开式中含x2项的系数为()A．71B．70C．21D．49解析：因为奇数项的二项式系数和为2n－1，所以2n－1＝64，n＝7，因此(1－2x)n(1＋x)展开式中含x2项的系数为C(－2)2＋C(－2)＝70.答案：B4．已知C＋2C＋22C＋…＋2nC＝729，则C＋C＋C的值等于()A．64B．32C．63D．31解析：由已知(1＋2)n＝3n＝729，解得n＝6，则C＋C＋C＝C＋C＋C＝×26＝32.答案：B5．已知(1－2x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝()A．1B．－1C．36D．26解析：由已知展开式中a0，a2，a4，a6大于零，a1，a3，a5小于零．所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6.令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝36.所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝36.答案：C二、填空题6．(a＋)n的展开式中奇数项系数和为512，则展开式的第八项T8＝________．解析：C＋C＋C＋…＝2n－1＝512＝29，所以n＝10，所以T8＝Ca3()7＝120a.答案：120a7．(x2＋1)(x－2)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…＋a11(x－1)11，则a1＋a2＋a3＋…＋a11的值为________．1解析：令x＝1，得a0＝－2.令x＝2，得a0＋a1＋a2＋…＋a11＝0.所以a1＋a2＋a3＋…＋a11＝2.答案：28．如图所示，满足如下条件：①第n行首尾两数均为n；②表中的递推关系类似“杨辉三角”．则第10行的第2个数是________，第n行的第2个数是________．1223434774511141156162525166…解析：由图表可知第10行的第2个数为：(1＋2＋3＋…＋9)＋1＝46，第n行的第2个数为：[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋1＝＋1＝.答案：46三、解答题9．已知展开式的二项式系数之和为128，求其展开式中含x3项的系数．解：展开式的二项式系数之和为128，所以2n＝128，解得n＝7.所以展开式的通项公式为Tr＋1＝C·(2x)7－r·＝(－1)r·27－r·C·x7－，令7－r＝3，解得r＝3.所以展开式中含x3项的系数是(－1)3·24·C＝－560.10．求(x－1)6＋(x－2)7的展开式中x4的系数．解：先求(x－1)6中x4的系数，它的展开式的通项为Tr＋1＝Cx6－r(－1)r，令6－r＝4，所以r＝2，所以此时它的展开式中x4的系数是C(－1)2＝15.同理得(x－2)7的展开式中x4的系数是C(－2)3＝－280.所以(x－1)6＋(x－2)7的展开式中x4的系数是－280＋15＝－265.B级能力提升1．已知展开式中的第10项是常数，则展开式中系数最大的项是()A．第19项B．第17项C．第17项或第19项D．第18项或第19项解析：T10＝C()n－9·＝Cx－9，由T10为常数，得－9＝0，所以n＝36，故第19项系数最大．答案：A2．记f(m，n)为(1＋x)6(1＋y)4展开式中xm·yn项的系数，则f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝________．2解析：f(3，0)＝C＝20，f(2，1)＝CC＝60，f(1，2)＝CC＝36，f(0，3)＝C＝4，所以f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝20＋60＋36＋4＝120.答案：1203．已知(a2＋1)n展开式中的各项系数之和等于的展开式的常数项，而(a2＋1)n的展开式的系数最大的项等于54，求a的值．解：由得Tr＋1＝C＝Cx，令Tr＋1为常数项，则20－5r＝0，所以r＝4，常数项T5＝C·＝16.又(a2＋1)n展开式中的各项系数之和等于2n，由此得到2n＝16，n＝4.所以(a2＋1)4展开式中系数最大项是中间项T3＝Ca4＝54.解得a＝±.3
