3.1.4空间向量的直角坐标运算自我小测1．已知A(3,4,5)，B(0,2,1)，O(0,0,0)，若OC＝AB，则C的坐标是()A.B.C.D.2．已知A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，则AB的中点M到点C的距离|CM|＝()A.B.C.D.3．若a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，且a与b夹角的余弦值为，则λ＝()A．2B．－2C．－2或D．2或－4．已知a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)，若a∥b，则()A．x＝6，y＝15B．x＝3，y＝C．x＝3，y＝15D．x＝6，y＝5．若△ABC中，∠C＝90°，A(1,2，－3k)，B(－2,1,0)，C(4,0，－2k)，则k的值为()A.B．－C．2D．±6．正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A.B.C.D.7．已知点A，B，C的坐标分别为(0,1,0)，(－1,0，－1)，(2,1,1)，点P的坐标为(x,0，z)，若PA⊥AB，PA⊥AC，则P点的坐标为__________．8．已知A，B，C三点的坐标分别是(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)，AP＝(AB－AC)，则点P的坐标是__________．9.已知向量a＝(2，－1,2)，则与a共线且a·x＝－18的向量x＝__________.10．如图所示，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，O，O1分别为底面ABCD、底面A1B1C1D1的中心，AB＝6，AA1＝4，M为B1B的中点，N在C1C上，且C1N∶NC＝1∶3.1(1)若以O为原点，分别以OA，OB，OO1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标；(2)若以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标．11．如图所示，BC＝2，原点O是BC的中点，点A的坐标为，点D在平面yOz内，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°.(1)求向量CD的坐标；(2)求向量AD与BC的夹角的余弦值．12．正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为4的正方形，A1C1与B1D1交于点N，BC1与B1C交于点M，且AM⊥BN，建立空间直角坐标系．(1)求AA1的长；(2)求〈BN，AD1〉；(3)对于n个向量a1，a2，…，an，如果存在不全为零的n个实数λ1，λ2，…，λn，使得λ1a1＋λ2a2＋…＋λnan＝0成立，则这n个向量a1，a2，…，an叫做线性相关，不是线性相关的向量叫线性无关，判断AM，BN，CD是否线性相关，并说明理由．参考答案1．解析：设C(a，b，c)，∵AB＝(－3，－2，－4)，∴(－3，－2，－4)＝(a，b，c)，∴(a，b，c)＝.故选A.2答案：A2．解析：由题意，得M，则CM＝，所以|CM|＝＝.答案：C3．解析：a·b＝2－λ＋4＝6－λ，|a|＝，|b|＝.cos〈a，b〉＝＝＝.55λ2＋108λ－4＝0，解得λ＝－2或λ＝.答案：C4．解析：a∥b＝＝答案：D5．解析：CB＝(－6,1,2k)，CA＝(－3,2，－k)，则CB·CA＝(－6)×(－3)＋2＋2k(－k)＝－2k2＋20＝0，∴k＝±.答案：D6．解析：建立如图所示坐标系，由题意设A(1,0,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,2)，A1(1,0,2)．由AD1＝(－1,0,2)，A1B＝(0,1，－2)，∴cos〈A1B，AD1〉＝＝－.∴异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为，故选D.答案：D7．解析：PA＝(－x,1，－z)，AB＝(－1，－1，－1)，AC＝(2,0,1)，∴∴∴P(－1,0,2)．答案：(－1,0,2)8．解析：∵CB＝(6,3，－4)，设P(a，b，c)，则(a－2，b＋1，c－2)＝，3∴a＝5，b＝，c＝0，∴P.答案：9．解析：设x＝(x，y，z)，又a·x＝－18，∴2x－y＋2z＝－18，①又∵a∥x，∴x＝2λ，y＝－λ，z＝2λ，②由①②知，x＝－4，y＝2，z＝－4，∴x＝(－4,2，－4)．答案：(－4,2，－4)10．解：(1)正方形ABCD中，AB＝6，∴AC＝BD＝6，从而OA＝OC＝OB＝OD＝3.∴各点坐标分别为A(3，0,0)，B(0,3，0)，C(－3，0,0)，D(0，－3，0)，O(0,0,0)，O1(0,0,4)，A1(3，0,4)，B1(0,3，4)，C1(－3，0,4)，D1(0，－3，4)，M(0,3，2)，N(－3，0,3)．(2)同理A(6,0,0)，B(6,6,0)，C(0,6,0)，D(0,0,0)，A1(6,0,4)，B1(6,6,4)，C1(0,6,4)，D1(0,0,4)，O(3,3,0)，O1(3,3,4)，M(6,6,2)，N(0,6,3)．11．解：B(0，－1,0)，C(0,1,0)，CB＝(0，－2,0)．(1)由题意设D(0，m，n)(m<0，n>0)，则BD＝(0，m＋1，n)，CD＝(0，m－1，n)．因为∠BDC＝90°，所以BD⊥CD，即(m－1)(m＋1)＋n2＝0.①因为cos∠DCB＝＝＝，②所以求解①②组成的方程组得或(舍去)或(舍去)，所以D，所以CD＝.(2)AD＝，BC＝(0,2,0)，所以cos〈AD，BC〉＝＝＝－，所以AD与BC的夹角的余弦值为－.12．解：(1)以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．4设AA1的长为a，则B(4,4,0)，N(2,2，a)，BN＝(－2，－2，a)，A(4,0,0)，M，AM＝，由BN⊥AM得BN·AM＝0，即a＝2.(2)BN＝(－2，－2,2)，AD1＝(－4,0,2)，cos〈BN，AD1〉＝＝，〈BN，AD1〉＝arccos.(3)由AM＝(－2,4，)，BN＝(－2，－2,2)，CD＝(0，－4,0)，λ1(－2,4，)＋λ2(－2，－2,2)＋λ3(0，－4,0)＝(0,0,0)，得λ1＝λ2＝λ3＝0，则AM，BN，CD线性无关．5
