1.2.2充要条件-(3)VIP免费

1.2充分条件与必要条件1.2.2充要条件第一章常用逻辑用语01课前自主预习【基础导学】问题引入问题(1)：已知p：整数a是6的倍数，q：整数a是2和3的倍数，那么，p是q的什么条件？问题(2)：“在△ABC中，p：AB＝AC，q：∠B＝∠C”，那么，p是q的什么条件？充要条件导疑从条件p能否推出条件q和条件q能否推出条件p两个角度考虑，p与q的关系有哪几种情况？导思有以下四种情况：(1)p⇒q，且q⇒p；(2)p⇒q，且q⇒/p；(3)p⇒/q，且q⇒p；(4)p⇒/q，且q⇒/p.导果(1)充要条件一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作______.此时，我们说，p是q的__________________，简称____________p⇔q充分必要条件充要条件．(2)常见的四种条件与命题真假的关系如果原命题为“若p，则q”，逆命题为“若q，则p”，那么p与q的关系有以下四种情形：原命题逆命题p与q的关系真真p是q的充要条件q是p的充要条件真假p是q的充分不必要条件q是p的必要不充分条件假真p是q的必要不充分条件q是p的充分不必要条件假假p是q的既不充分也不必要条件q是p的既不充分也不必要条件【知识拓展】从集合角度看充分、必要条件和充要条件如果把p研究的范围看成集合A，把q研究的范围看成集合B，则可得下表．记法A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}关系ABBAA＝BAB且BA图示结论p是q的充分不必要条件p是q的必要不充分条件p，q互为充要条件p是q的既不充分也不必要条件1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．()(2)逻辑联结符号“⇔”具有传递性．()(3)若p⇒/q和q⇒/p有一个成立，则p一定不是q的充要条件．()√√√2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)“x2<1”的充要条件是_________________．(2)“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的________条件．(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个合适的填空)(3)已知向量a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，则a⊥b的充要条件是________．(4)如果不等式x≤m成立的充分不必要条件是1≤x≤2，则m的最小值为________．－16，q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点；②p：f－xfx＝1，q：y＝f(x)为偶函数；③p：cosα＝cosβ，q：tanα＝tanβ；④p：A∩B＝A，q：∁UB⊆∁UA.A．①②B．②③C．③④D．①④[解析]①q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同零点⇔Δ＝m2－4(m＋3)>0⇔m<－2或m>6⇔p.②f(x)＝0时，q⇒/p.③若α，β＝kπ＋π2(k∈Z)，此时有cosα＝cosβ，但没有tanα＝tanβ.④p：A∩B＝A⇔A⊆B⇔q：∁UA⊇∁UB，∴①④中，p是q的充要条件．判断p是q的充分必要条件的两种思路(1)命题角度：验证由p能否推出q，由q能否推出p，对于否定性命题，注意利用等价命题来判断．(2)集合角度：关于充分条件、必要条件、充要条件，当不容易判断p⇒q及q⇒p的真假时，也可以从集合角度去判断，结合集合中“小集合⇒大集合”的关系来理解，这对解决与逻辑有关的问题是大有益处的．[跟踪训练1]已知p是q的充分条件，q是r的必要条件，也是s的充分条件，r是s的必要条件，问：(1)p是r的什么条件？(2)s是q的什么条件？(3)p、q、r、s中哪几对互为充要条件？解作出“⇒”图，如图所示，可知：p⇒q，r⇒q，q⇒s，s⇒r.(1)p⇒q⇒s⇒r，且r⇒q，q能否推出p未知，∴p是r的充分条件．(2) s⇒r⇒q，q⇒s，∴s是q的充要条件．(3)共有三对充要条件，q⇔s；s⇔r；r⇔q.题型二充要条件的证明例2设a，b，c是△ABC的三个内角A，B，C所对的边．求证：a2＝b(b＋c)的充要条件是A＝2B.[证明]充分性： A＝2B，∴A－B＝B，则sin(A－B)＝sinB，则sinAcosB－cosAsinB＝sinB，结合正弦、余弦定理得a·a2＋c2－b22ac－b·b2＋c2－a22bc＝b，化简整理得a2＝b(b＋c)；必要性：由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，且a2＝b(b＋c)，得b2＋bc＝b2＋c2－2bccosA，∴1＋2cosA＝cb＝sinCsinB，即sinB＋2sinBcosA＝sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，∴sinB＝sinAcosB－cosAsinB＝sin(A－B)，由于A、B均为三角形的内角，故必有B＝A－B，即A＝2B.综上，知a2＝b(b＋c)的充要条...