高二数学专题指导知识点分析：用数学模型巧解排列组合问题旧人教VIP免费

高二数学专题指导：用数学模型巧解排列组合问题一、构建方程模型例1上一个有10级台阶的楼梯，每步可上一级或两级，共有多少种上台阶的方法？解：设x表示上一级台阶的步数，y表示上两级台阶的步数，则102yx),0,0(Zyyx。当2x时，4y，于是用6步走完10级台阶的方法为26C种；同理，当0x，4，6，8，10时，y的取值分别为5，3，2，1，0，则上台阶的方法分别为05C，47C，68C，89C，1010C种。所以上台阶的方法共有05C+26C+47C+68C+89C+891010C种。点评：构建方程模型的关键是找到等量关系，正确列出方程。二、构建立体几何模型例2如图1中A，B，C，D为海上四个岛，要建三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方案共有（）A.8种B.12种C.16种D.20种解：如图2，构建三棱锥BCDA，四个顶点表示小岛，六条棱表示连接任意两岛的桥梁，由题意，只需求出从六条棱中任取三条不共面的棱的不同取法，这可由间接法完成：从六条棱中任取三条棱的不同取法用心爱心专心为36C种，任取三条共面棱的不同取法为4种，所以从六条棱中任取不共面的棱的不同取法为16436C种，故选C项。点评：构建恰当的立体几何模型，可以使排列组合问题显得直观清晰、简洁明快。三、构建隔板模型例3把20个相同的球全部装入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不小于其编号数，则共有种不同的放法。解：运用隔板法必须同时具备以下三个条件：①所有元素必须相同；②所有元素必须分完；③每组至少有一个元素。此例有限条件，不能直接运用隔板法，但可转化为隔板问题，向1，2，3号三个盒子中分别装入0，1，2个球后，还剩余17个球，然后再把这17个球分成3份，每份至少一球，运用隔板法，共有120216C种不同的分法。点评：根据问题的特点，把握问题的本质，通过联想、类比是构建模型的关键。四、构建油箱模型例4若集合1A，2A满足AAA21，则称),(21AA为集合A的一个分拆，并规定：当且仅当21AA时，),(21AA与),(12AA为集合的同一种分拆，则集合321,,aaaA的不同分拆种数为。解：建立数学模型，如图3，设集合2ACA为邮筒①，设集合21AA为邮筒②，设集合1ACA为邮筒③，设1a，2a，3a三个元素为三封信，则问题转化为熟悉的“把三封信投入到三个邮筒共有多少种投递方法”的问题，可分三步进行求解：用心爱心专心第一步，投1a共有13C种投法；第二步，投2a共有13C种投法；第三步，投3a共有13C种投法。根据分步计数原理共有13C13C2713C种投法，即集合321,,aaaA的不同分拆种数为27。点评：本题属于集合类信息迁移题，若直接分类求解则较繁，这里通过构建邮筒模型转化求解，思路清晰、运算简练。用心爱心专心用心爱心专心