1．函数f(x)＝4x－x4在[－1,2]上的最大值是________．解析：f′(x)＝4－4x3，令f′(x)＝0，得x＝1，又当x<1时，f′(x)>0，当x>1时，f′(x)<0，∴f(x)＝4x－x4在x＝1时取得最大值f(1)＝3.答案：32．函数f(x)＝xlnx在(0，＋∞)上的最小值为________．解析：f′(x)＝(xlnx)′＝x′·lnx＋x·(lnx)′＝lnx＋1.由f′(x)>0，得x>；由f′(x)<0，得x<.∴f(x)＝xlnx在x＝处取得极小值f()＝－，∴－就是f(x)在(0，＋∞)上的最小值．答案：－3．函数f(x)＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值和最小值的和是________．解析：f′(x)＝6x2－6x－12，令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝2.但x∈[0,3]，∴x＝－1舍去，∴x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x0(0,2)2(2,3)3f′(x)－0＋f(x)5－15－4由上表，知f(x)max＝5，f(x)min＝－15，所以f(x)max＋f(x)min＝－10.答案：－104．函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝在区间[1，＋∞)上一定有________(最大或最小值)．解析：由函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，可得a的取值范围为a<1，∴g(x)＝＝x＋－2a，则g′(x)＝1－.易知在x∈(1，＋∞)上g′(x)>0，∴g(x)为增函数．答案：最小值一、填空题1．函数f(x)＝x(1－x2)在[0,1]上的最大值为________．解析：f(x)＝x－x3，∴f′(x)＝1－3x2.当x＝时，f′(x)＝0；当x∈时，f′(x)>0；当x∈时，f′(x)<0.∴f＝为极大值，而f(0)＝0，f(1)＝0，∴f(x)的最大值是f＝.答案：2．函数y＝5－36x＋3x2＋4x3在区间[－2，＋∞)上的最大值为________，最小值为________．解析：y′＝－36＋6x＋12x2，令y′＝0，得x1＝－2，x2＝，当x>时，函数为增函数，所以无最大值，f(－2)＝57，f＝－28，所以最小值为－28.答案：不存在－283．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为________．解析： f′(x)＝3x2－3a，令f′(x)＝0，可得a＝x2，又 x∈(0,1)，∴0
2，或x<0时，f′(x)>0；当00，即x∈(0,1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≥－.设g(x)＝－，则g′(x)＝.所以，g(x)在区间(0，]上单调递增，在区间[，1]上单调递减．因此，g(x)max＝g()＝4，从而a≥4；当x<0，即x∈[－1,0)时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≤－，g(x)在区间[－1,0)上单调递增，因此g(x)min＝g(－1)＝4，从而a≤4.所以a＝4.答案：48．已知函数f(x)＝x4－2x3＋3m，x∈R，若f(x)＋9≥0恒成立，则实数m的取值范围是________．解析：因为函数f(x)＝x4－2x3＋3m，所以f′(x)＝2x3－6x2，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝3，经检验知x＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f(3)＝3m－，因为不等式f(x)＋9≥0恒成立，即f(x)≥－9恒成立，所以3m－≥－9，解得m≥.答案：m≥二、解答题9．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a，求函数f(x)在区间[－2,2]上的最大值与最小值．解：f′(x)＝－3x2＋6x＋9＝－3(x＋1)(x－3)．令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝3.f(－2)＝2＋a，f(－1)＝－5＋a，f(2)＝22＋a.易知f(－1)
