第3章315知能优化训练VIP免费

1．给出下列几个式子：①a·|a|＝a2②(a·b)2＝a2·b2③(a·b)c＝a(b·c)④|a·b|≤|a||b|其中正确的是__________．答案：④2.(2011年高考辽宁卷)如图，四棱锥SABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是__________．①AC⊥SB②AB∥平面SCD③SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角④AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角解析：易证AC⊥平面SBD，因而AC⊥SB，①正确；AB∥DC，DC⊂平面SCD，故AB∥平面SCD，②正确；由于SA，SC与平面SBD的相对位置一样，因而所成的角相同．答案：④3．在△ABC中，已知AB＝(2,4,0)，BC＝(－1,3,0)，则∠ABC＝__________.解析：∵BA＝(－2，－4,0)，BC＝(－1,3,0)，∴BA·BC＝2－12＋0＝－10，|BA|＝＝2，|BC|＝.∴cos〈BA，BC〉＝＝＝－.∴∠ABC＝135°.答案：135°4．(2011年高考重庆卷)已知单位向量e1，e2的夹角为60°，则|2e1－e2|＝__________.解析：|2e－e2|2＝4e－4e1e2＋e＝4－4×1×1×cos60°＋1＝3，∴|2e1－e2|＝.答案：一、填空题1．已知a＝(x,2,0)，b＝(3,2－x，x2)，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是__________．解析：cos〈a，b〉＝，∵夹角为钝角，∴cos〈a，b〉<0，且a，b不共线，∴3x＋2(2－x)<0，∴x<－4.答案：x<－42．设a，b，c是单位向量，且a·b＝0，则(a－c)·(b－c)的最小值为__________．解析：a·b＝0，且a，b，c均为单位向量，∴|a＋b|＝，|c|＝1，∴(a－c)·(b－c)＝a·b－(a＋b)·c＋c2.设a＋b与c的夹角为θ，则(a－c)·(b－c)＝1－|a＋b||c|cosθ＝1－cosθ.故(a－c)·(b－c)的最小值为1－.答案：1－3．若向量a与b不共线，a·b≠0，且c＝a－()b，则向量a与c的夹角为__________．解析：a·c＝a·[a－()b]＝a·a－()b·a＝a·a－a·a＝0，∴a⊥c.答案：90°4．设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1，则|a|2＋|b|2＋|c|2的值是__________．解析：由已知，可得a·b＝0，a·c＝b·c.由a·(a＋b＋c)＝0，可得a·c＝b·c＝－1，将(a＋b＋c)2＝0展开，求得|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.答案：45．已知a＝(cosα，1，sinα)，b＝(sinα，1，cosα)，则向量a＋b与a－b的夹角是__________．解析：∵|a|＝|b|＝，且a＋b与a－b是以a，b为邻边的正方形的两条对角线，∴a＋b与a－b的夹角为90°.答案：90°6．已知a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，若a，b夹角的余弦值为，则λ＝__________.解析：a·b＝2－λ＋4＝6－λ，|a|＝，|b|＝3，则6－λ＝3·，整理得3(6－λ)＝8，解得λ＝－2或.答案：－2或7．已知三点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则三角形ABC的形状是__________．解析：AB＝(3,4，－8)，BC＝(2，－3,1)，AC＝(5,1，－7)．∴|AB|＝，|BC|＝，|AC|＝，∴|AB|2＝|BC|2＋|AC|2，∴△ABC是以角C为直角的直角三角形．答案：直角三角形8．设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足AB·AC＝0，AC·AD＝0，AB·AD＝0，则△BCD的形状是__________．解析：∵AB·AC＝0，AC·AD＝0，AB·AD＝0，∴AB、AC、AD两两垂直．∴BC2＝AB2＋AC2，CD2＝AC2＋AD2，BD2＝AB2＋AD2.∴BC2