第2讲数列求和及数列的综合应用(建议用时：60分钟)一、选择题1．(2014·福建卷)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6等于()．A．8B．10C．12D．14解析利用等差数列的通项公式和前n项和公式求解．由题意知a1＝2，由S3＝3a1＋×d＝12，解得d＝2，所以a6＝a1＋5d＝2＋5×2＝12，故选C.答案C2．数列{an}的通项公式an＝，若{an}的前n项和为24，则n为()．A．25B．576C．624D．625解析an＝＝－(－)，前n项和Sn＝－[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝－1＝24，故n＝624.故选C.答案C3．(2015·浙江卷)已知{an}是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn，若a3，a4，a8成等比数列，则()．A．a1d＞0，dS4＞0B．a1d＜0，dS4＜0C．a1d＞0，dS4＜0D．a1d＜0，dS4＞0解析 a3，a4，a8成等比数列，∴(a1＋3d)2＝(a1＋2d)·(a1＋7d)，整理得a1＝－d，∴a1d＝－d2＜0，又S4＝4a1＋d＝－，∴dS4＝－＜0，故选B.答案B4．设{an}是公差不为0的等差数列，a1＝2且a1，a3，a6成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝()．A.＋B.＋C.＋D．n2＋n解析设等差数列{an}的公差为d，由已知得a＝a1a6，即(2＋2d)2＝2(2＋5d)，解得d＝，故Sn＝2n＋×＝＋.答案A5．(2015·北京卷)设{an}是等差数列，下列结论中正确的是()．A．若a1＋a2＞0，则a2＋a3＞0B．若a1＋a3＜0，则a1＋a2＜0C．若0＜a1＜a2，则a2＞D．若a1＜0，则(a2－a1)(a2－a3)＞0解析A，B选项易举反例，C中若0＜a1＜a2，∴a3＞a2＞a1＞0， a1＋a3>2，又2a2＝a1＋a3，∴2a2>2，即a2>成立．答案C6．Sn是等比数列{an}的前n项和，a1＝，9S3＝S6，设Tn＝a1a2a3…an，则使Tn取最小值的n值为()．A．3B．4C．5D．61解析设等比数列的公比为q，故由9S3＝S6，得9×＝，解得q＝2，故＝an＝×2n－1，易得当n≤5时，<1，即TnTn－1，据此数列单调性可得T5为最小值．答案C7．已知数列{an}的通项公式是an＝－n2＋12n－32，其前n项和是Sn，对任意的m，n∈N*且m0，Sn随n的增加而增大，S7＝S8，当n>8时，an<0，Sn随n的增加而减小，故Sn－Sm≤S8－S4＝a5＋a6＋a7＋a8＝a5＋a6＋a7＝10.答案D二、填空题8．设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则q＝________.解析由已知得②－①得a1q2＋a1q3＝3a1q(q2－1)，即2q2－q－3＝0.解得q＝或q＝－1(舍)．答案9．在正项数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋3×5n，则数列{an}的通项公式为________．解析在递推公式an＋1＝2an＋3×5n的两边同时除以5n＋1，得＝×＋，①令＝bn，则①式变为bn＋1＝bn＋，即bn＋1－1＝(bn－1)，所以数列{bn－1}是等比数列，其首项为b1－1＝－1＝－，公比为.所以bn－1＝×n－1，即bn＝1－×n－1＝，故an＝5n－3×2n－1.答案an＝5n－3×2n－110．(2015·江苏卷)设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列前10项的和为________．解析 a1＝1，an＋1－an＝n＋1，∴a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n，将以上n－1个式子相加得an－a1＝2＋3＋…＋n＝，即an＝，令bn＝，故bn＝＝2，故S10＝b1＋b2＋…＋b10＝2＝.答案11．设y＝f(x)是一次函数，f(0)＝1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，则f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)＝________.解析设f(x)＝kx＋b(k≠0)，又f(0)＝1，所以b＝1，即f(x)＝kx＋1(k≠0)．由f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，得f2(4)＝f(1)·f(13)，即(4k＋1)2＝(k＋1)(13k＋1)．因为k≠0，所以k＝2，所以f(x)＝2x＋1，所以f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)＝5＋9＋…＋4n＋1＝＝n(2n＋3)．答案n(2n＋3)12．(2015·新课标全国Ⅱ卷)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝____________.解析由题意，得S1＝a1＝－1，又由an＋1＝SnSn＋1，得Sn＋1－Sn＝SnSn＋1，所以Sn≠0，所以＝1，即－＝－1，故数列是以＝－1为首项，－1为公差的等差数列，得＝－1－(n－1)＝－n，所以Sn＝－.答案－2三、解答题13．(2015·山东卷)设数列{an}的前n项和为Sn.已知2Sn＝3n＋3.(1)求{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足an...
