专题13立体几何中的向量方法1．直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为()A.B.C.D.答案C解析方法一由于∠BCA＝90°，三棱柱为直三棱柱，且BC＝CA＝CC1.建立如图(1)所示空间直角坐标系．设正方体棱长为2，则可得A(0,0,0)，B(2,2,0)，M(1,1,2)，N(0,1,2)，∴BM＝(1,1,2)－(2,2,0)＝(－1，－1,2)，AN＝(0,1,2)．∴cos〈BM，AN〉＝＝＝＝.2.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点．设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是()A．[，1]B．[，1]C．[，]D．[，1]答案B解析根据题意可知平面A1BD⊥平面A1ACC1且两平面的交线是A1O，所以过点P作交线A1O的垂线PE，则PE⊥平面A1BD，所以∠A1OP或其补角就是直线OP与平面A1BD所成的角α.设正方体的边长为2，则根据图形可知直线OP与平面A1BD可以垂直．3．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在直线BC1上运动时，有下列三个命题：①三棱锥A－D1PC的体积不变；②直线AP与平面ACD1所成角的大小不变；③二面角P－AD1－C的大小不变．其中真命题的序号是________．答案①③解析①中， BC1∥平面AD1C，∴BC1上任意一点到平面AD1C的距离相等，所以体积不变，正确；②中，点P在直线BC1上运动时，直线AB与平面ACD1所成角和直线AC1与平面ACD1所成角不相等，所以不正确；③中，点P在直线BC1上运动时，点P在平面AD1C1B中，既二面角P—AD1－C的大小不受影响，所以正确．4．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点E、F分别为BB1、CD的中点，则点F到平面A1D1E的距离为______________．答案解析以点A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，∴点F到平面A1D1E的距离为d＝＝＝.5.如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝1，点E，F分别是CC1，BC的中点，AE⊥A1B1，点D为棱A1B1上的点．(1)证明：DF⊥AE；(2)是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为？若存在，说明点D的位置，若不存在，说明理由．(1)证明 AE⊥A1B1，A1B1∥AB，∴AE⊥AB，又 AA1⊥AB，AA1⊂面A1ACC1，AE⊂面A1ACC1，AA1∩AE＝A，∴AB⊥面A1ACC1.又 AC⊂面A1ACC1，∴AB⊥AC，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则有A(0,0,0)，E，F，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，由(1)可知平面ABC的法向量n＝(0,0,1)．设平面DEF的法向量为m＝(x，y，z)，则 FE＝(－，，)，DF＝，∴即令z＝2(1－λ)，则n＝(3,1＋2λ，2(1－λ))． 平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为，∴|cos〈m，n〉|＝＝，即＝，解得λ＝或λ＝(舍)，∴当点D为A1B1中点时满足要求．6．如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，平面ABEF为正方形，AF＝2FD，∠AFD＝90°，且二面角D－AF－E与二面角C－BE－F都是60°.(1)证明：平面ABEF⊥EFDC；(2)求二面角E－BC－A的余弦值．由(1)知∠DFE为二面角D－AF－E的平面角，故∠DFE＝60°，则DF＝2，DG＝，可得A(1,4,0)，B(－3,4,0)，E(－3,0,0)，D(0,0，)．由已知，AB∥EF，所以AB∥平面EFDC，又平面ABCD∩平面EFDC＝CD，故AB∥CD，CD∥EF，由BE∥AF，可得BE⊥平面EFDC，所以∠CEF为二面角C－BE－F的平面角，∠CEF＝60°，从而可得C(－2,0，)．所以EC＝(1,0，)，EB＝(0,4,0)，AC＝(－3，－4，)，AB＝(－4,0,0)．设n＝(x，y，z)是平面BCE的法向量，则即所以可取n＝(3,0，－)．设m是平面ABCD的法向量，则同理可取m＝(0，，4)，则cos〈n，m〉＝＝－.故二面角E－BC－A的余弦值为－.易错起源1、利用向量证明平行与垂直例1、如图，在直三棱柱ADE—BCF中，面ABFE和面ABCD都是正方形且互相垂直，点M为AB的中点，点O为DF的中点．运用向量方法证明：(1)OM∥平面BCF；(2)平面MDF⊥平面EFCD.证明方法一由题意，得AB，AD，AE两两垂直，以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系．设正方形边长为1，则A(0,0,0)，B(1，0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，F(1,0,1)，M，O.(1)OM＝，BA＝(－1,0,0)，∴OM·BA＝0,∴OM⊥BA. 棱柱ADE—BCF是直三棱柱，∴AB⊥平面BCF，∴BA是平面BCF的一个法向量，且OM⊄平面BCF，∴OM∥平面BCF.(2)设平面MDF...
