2.2.3向量数乘运算及其几何意义A级基础巩固一、选择题1．设a是非零向量，λ是非零实数，则以下结论正确的有()(1)a与－λa的方向相反；(2)|－λa|≥|a|；(3)a与λ2a方向相同；(4)|－2λa|＝2|λ|·|a|.A．1个B．2个C．3个D．4个解析：由向量数乘的几何意义知(3)(4)正确．答案：B2．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2OA＋OB＋OC＝0.则()A.AO＝2ODB.AO＝ODC.AO＝3ODD．2AO＝OD解析：因为D为BC的中点，所以OB＋OC＝2OD，所以2OA＋2OD＝0，所以OA＝－OD，所以AO＝OD.答案：B3．化简的结果是()A．2a－bB．2b－aC．b－aD．a－b解析：原式＝(a＋4b－4a＋2b)＝(6b－3a)＝2b－a.答案：B4．正方形ABCD的边长为1，AB＝a，AC＝c，BC＝b，则|a＋b＋c|的值为()A．0B.C．3D．2解析：a＋b＋c＝AB＋BC＋AC＝AC＋AC＝2AC，所以|a＋b＋c|＝|2AC|＝2|AC|＝2.答案：D5．设四边形ABCD中，有DC＝AB且|AD|＝|BC|，则这个四边形是()A．平行四边形B．矩形C．等腰梯形D．菱形解析：因为DC＝AB，所以AB∥DC且AB≠DC，所以四边形ABCD是梯形，又|AD|＝|BC|，所以四边形ABCD是等腰梯形．答案：C二、填空题6．若|a|＝5，b与a的方向相反，且|b|＝7，则a＝______b.解析：因为|a|＝5，|b|＝7，所以＝，又方向相反，所以a＝－b.答案：－7．(2015·课标全国Ⅱ卷)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝1________．解析：因为λa＋b与a＋2b平行，所以λa＋b＝t(a＋2b)，即λa＋b＝ta＋2tb，所以解得答案：8．已知|a|＝6，b与a的方向相反，且|b|＝3，a＝mb，则实数m＝________．解析：＝＝2，所以|a|＝2|b|，又a与b的方向相反，所以a＝－2b，所以m＝－2.答案：－2三、解答题9．已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若OP＝xOA＋yOB，求x＋y的值．解：设AB＝BP，则OB＝OA＋AB，则OP＝OB＋BP＝OA＋AB＋BP＝OA＋OB－OA＋a(OB－OA)＝OB(1＋a)－aOA所以x＋y＝1＋a－a＝1.10．已知e，f为两个不共线的向量，且四边形ABCD满足AB＝e＋2f，BC＝－4e－f，CD＝－5e－3f.(1)将AD用e，f表示；(2)求证：四边形ABCD为梯形．(1)解：根据向量的线性运算法则，有AD＝AB＋BC＋CD＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f＝－8e－2f.(2)证明：因为AD＝－8e－2f＝2(－4e－f)＝2BC，所以AD与BC同向，且AD的长度为BC长度的2倍，所以在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，所以四边形ABCD是梯形．B级能力提升1．已知△ABC和点M满足MA＋MB＋MC＝0.若存在实数m使得AB＋AC＝mAM成立，则m＝()A．2B．3C．4D．5解析：因为MA＋MB＋MC＝0所以MA＋MA＋AB＋MA＋AC＝0从而有AB＋AC＝－3MA＝3AM＝mAM，故有m＝3.答案：B2．若AP＝tAB(t∈R)，O为平面上任意一点，则OP＝________(用OA，OB表示)．解析：AP＝tAB，OP－OA＝t(OB－OA)，OP＝OA＋tOB－tOA＝(1－t)OA＋tOB.答案：(1－t)OA＋tOB3.如图所示，在△ABO中，OC＝OA，OD＝OB，AD与BC相交于点M，设OA＝a，OB＝b.试用a和b表示向量OM.解：设OM＝ma＋nb，2则AM＝OM－OA＝ma＋nb－a＝(m－1)a＋nb.AD＝OD－OA＝OB－OA＝－a＋b.又因为A，M，D三点共线，所以AM与AD共线．所以存在实数t，使得AM＝tAD，即(m－1)a＋nb＝t.所以(m－1)a＋nb＝－ta＋tb.所以消去t得m－1＝－2n，即m＋2n＝1.①又因为CM＝OM－OC＝ma＋nb－a＝a＋nb，CB＝OB－OC＝b－a＝－a＋b.又因为C，M，B三点共线，所以CM与CB共线．所以存在实数t1，使得CM＝t1CB，所以a＋nb＝t1，所以消去t1得4m＋n＝1.②由①②得m＝，n＝，所以OM＝a＋b.3
