数系的扩充和复数的概念一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016·泉州高二检测)如果复数z=a2+a-2+(a2-3a+2)i为纯虚数,那么实数a的值为()A.-2B.1C.2D.1或-2【解析】选A.因为复数z=a2+a-2+(a2-3a+2)i为纯虚数,所以a2+a-2=0且a2-3a+2≠0,所以a=-2.2.(2016·全国卷Ⅰ)设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中a为实数,则a=()A.-3B.-2C.2D.3【解析】选A.因为(1+2i)(a+i)=a-2+(1+2a)i,其实部与虚部相等,即a-2=1+2a,解得a=-3.【补偿训练】已知复数z1=1+3i的实部与复数z2=-1-ai的虚部相等,则实数a等于()A.-3B.3C.-1D.1【解析】选C.已知1+3i的实部为1,-1-ai的虚部为-a,则a=-1.【拓展延伸】复数相等的充要条件的应用1.必须是复数的代数形式,才可以根据实部与实部相等,虚部与虚部相等列方程组.2.利用这一结论,可以把“复数相等”这一条件转化为两个实数等式,为应用方程思想提供了条件,同时这也是复数问题实数化思想的体现,这一思想在解决复数问题中非常重要.3.(2016·西安高二检测)设a,b∈R,i是虚数单位,则“ab=0”是“复数a+为纯虚数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.ab=0⇒a=0或b=0,当a≠0,b=0时,a+为实数,当a+为纯虚数时⇒a=0,b≠0⇒ab=0,故“ab=0”是“复数a+为纯虚数”的必要不充分条件.4.(2016·潍坊高二检测)若复数z=(m+2)+(m2-9)i(m∈R)是正实数,则实数m的值为()A.-2B.3C.-3D.±31【解析】选B.由题意知m2-9=0,解得m=±3,又z为正实数,所以m=3.【延伸探究】若复数z=(m+2)+(m2-9)i(m∈R)是虚数,则m的取值为________.【解析】由题意知m2-9≠0,所以m≠±3.答案:m≠±35.(2016·上海高二检测)设x,y均是实数,i是虚数单位,复数(x-2y)+(5-2x-y)i的实部大于0,虚部不小于0,则复数z=x+yi在复平面上的点集用阴影表示为图中的()【解题指南】由复数(x-2y)+(5-2x-y)i的实部大于0,虚部不小于0,可得利用线性规划的知识得可行域即可.【解析】选A.因为复数(x-2y)+(5-2x-y)i的实部大于0,虚部不小于0,所以由线性规划的知识可得,可行域为直线x=2y的右下方和直线y=5-2x的左下方,因此为A.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知复数z=m2(1+i)-m(m+i)(m∈R),若z是实数,则m的值为________.【解析】z=m2+m2i-m2-mi=(m2-m)i,所以m2-m=0,所以m=0或1.答案:0或17.已知复数z=a2+(2a+3)i(a∈R)的实部大于虚部,则实数a的取值范围是________.【解题指南】找出复数z=a2+(2a+3)i(a∈R)的实部与虚部,列出不等式,即可求得实数a的取值范围.【解析】由已知可以得到a2>2a+3,即a2-2a-3>0,解得a>3或a<-1,因此,实数a的取值范围是{a|a>3或a<-1}.答案:{a|a>3或a<-1}8.若复数m-3+(m2-3m-4)i<0,则实数m的取值范围为________.【解题指南】虚数不能比较大小,能比较大小的一定是实数.【解析】由题意知解得m=-1(m=4舍去).答案:m=-12三、解答题(每小题10分,共20分)9.实数m取什么值时,复数lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i分别是(1)纯虚数.(2)实数.【解析】(1)复数lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i为纯虚数,则所以所以m=3.即m=3时,lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i为纯虚数.(2)复数lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i为实数,则解②得m=-2或m=-1,代入①检验知满足不等式,所以当m=-2或m=-1时,lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i为实数.【补偿训练】(2016·岳阳高二检测)已知复数z=(m2+3m+2)+(m2-m-6)i,则当实数m为何值时,复数z(1)是实数.(2)是虚数.(3)是纯虚数.【解析】z=(m2+3m+2)+(m2-m-6)i.(1)令m2-m-6=0⇒m=3或m=-2,即当m=3或m=-2时,z是实数.(2)令m2-m-6≠0,解得m≠-2且m≠3,所以当m≠-2且m≠3时,z是虚数.(3)由解得m=-1,所以当m=-1时,z是纯虚数.10.已知关于x的方程x2+(k+2i)x+2+ki=0有实根x0,求x0以及实数k的值.【解析】x=x0是方程的实根,代入方程并整理,得(+kx0+2)+(2x0+k)i=0.由复数相等的充要条件,得3解得或所以方程的实根为x0=或x0=-,相应的k值为k=-2或k=2.4一、选择题(每小题5分,共10分)1.已知复数z1=m+(4-m2)i(m∈R),z2=2cosθ+(λ+3sinθ)i(λ,θ∈R),并且z1=z2,则λ的取值范围为()A.-7≤λ≤B.≤λ≤7C.-1≤λ≤1D.-≤λ≤7【解析】选D.由z1=z2,得消去m,得λ=4sin2θ-3sinθ=4-.由于-1≤sinθ≤1,故-≤λ≤7.2.(2016·哈尔滨高二检测)若复...
