2016-2017学年高中数学第3章导数应用2.2最大值、最小值问题课后演练提升北师大版选修2-2一、选择题1．给出下列四个命题：①若函数f(x)在[a，b]上有最大值，则这个最大值一定是[a，b]上的极大值；②若函数f(x)在[a，b]上有最小值，则这个最小值一定是[a，b]上的极小值；③若函数f(x)在[a，b]上有最值，则最值一定在x＝a或x＝b处取得；④若函数f(x)在(a，b)内连续，则f(x)在(a，b)内必有最大值与最小值．其中真命题共有()A．0个B．1个C．2个D．3个解析：因为函数的最值可以在区间[a，b]的两端取得，也可以在内部取得，当最值在端点处取得时，其最值就一定不是极值，故命题①与②不真．由于最值可以在区间内部取得，故命题③也不真．对于命题④，我们只要考虑在(a，b)内的单调函数，它在(a，b)内必定无最值(也无极值)，因此命题④也不真．综上所述，四个命题均不真，故选A.答案：A2．用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为()A．5cmB．8cmC．10cmD．12cm解析：设截去的小正方形的边长为xcm，铁盒的容积为Vcm3，由题意，得V＝x(48－2x)2(0＜x＜24)，V′＝12(24－x)(8－x)．令V′＝0，则在(0,24)内有x＝8，故当x＝8时，V有最大值．答案：B3．函数f(x)＝2sinx－x在上的最大值点及最大值是()A.，－B．0,0C.，2－D．0,2解析：f′(x)＝2cosx－1，x∈时，f′(x)≥0x∈时f′(x)≤0，∴为最大值点，f＝－为函数的最大值．答案：A4．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上f(x)≤3恒成立，那么在[－2,2]上，f(x)min()A．≤－37B．≤－5C．≥－37D．≥－5解析：f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)当x∈[－2,0]时f′(x)≥0当x∈[0,2]时f′(x)≤0∴f(x)max＝f(0)＝m，∴m≤3又 f(－2)＝－40＋m，f(2)＝－8＋m∴f(x)min＝f(－2)＝－40＋m≤－37.答案：A二、填空题15．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．若该商品零售价定为P元，销售量为Q，则销售量Q(单位：件)与零售价P(单位：元)有如下关系：Q＝8300－170P－P2.最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)________________元．解析：设毛利润为L(P)，由题意知L(P)＝PQ－20Q＝Q(P－20)＝(8300－170P－P2)(P－20)＝－P3－150P2＋11700P－166000，所以，L′(P)＝－3P2－300P＋11700.令L′(P)＝0，解得P＝30或P＝－130(舍去)．此时，L(30)＝23000.根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23000元．答案：230006．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围是__________________．解析：f′(x)＝3x2－3a，f(x)在(0,1)内有最小值，则f(x)在(0,1)内有极小值点．方程f′(x)＝3x2－3a＝0应有实根，∴a＞0，x＝±.显然x＝应是(0,1)间的极小值点，∴0＜＜1,0＜a＜1.答案：(0,1)三、解答题7．设函数f(x)＝ln(2x－1)－x2.(1)讨论f(x)的单调性；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．解析：f(x)的定义域为.(1)f′(x)＝－2x＝＝.当0；当x>1时，f′(x)<0.则f(x)在区间上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减．(2)由(1)知f(x)在区间上的最大值为f(1)＝ln(2×1－1)－12＝－1.又f－f＝－＝1－ln3<0.所以f(x)在区间上的最小值为f＝＝－ln2－.故f(x)在区间上的最大值和最小值分别为－1和－ln2－.8．一艘轮船在航行中的燃料费和它速度的立方成正比．已知在速度为每小时10公里时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以多大速度航行时，能使行驶每公里的费用总和最少？解析：设船的速度为x(x＞0)时，燃料费用为Q元，则Q＝kx3，由6＝k×103可得k＝，∴Q＝x3，∴总费用y＝·＝x2＋，y′＝x－，令y′＝0得x＝20，当x∈(0,20)时，y′＜0，此时函数单调递减，2当x∈(20，＋∞)时，y′＞0，此时函数单调递增，∴当x＝20时，y取得最小值，∴此轮船以20公里/小时的速度行驶时每公里的费用总和最小．9．某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每投入广告费t(百万元)，可增加销售额约为－t2＋5t(百万元)(0...
