3.1.5空间向量运算的坐标表示A级：基础巩固练一、选择题1．已知A(3,3,3)，B(6,6,6)，O为原点，则OA与BO的夹角是()A．0B．πC.D.答案B解析∵OA·OB＝3×6＋3×6＋3×6＝54，且|OA|＝3，|OB|＝6，∴cos〈OA，OB〉＝＝1.∵〈OA，OB〉∈[0，π]，∴〈OA，OB〉＝0，∴〈OA，BO〉＝π.2．已知向量a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，|λa＋b|＝，且λ＞0，则λ＝()A．2B．3C．4D．5答案B解析由题意，得λa＋b＝(4,1－λ，λ)．因为|λa＋b|＝，所以42＋(1－λ)2＋λ2＝29，整理得λ2－λ－6＝0.又λ＞0，所以λ＝3.3．已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是()A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形答案C解析∵AB＝(3,4，－8)，AC＝(5,1，－7)，BC＝(2，－3，1)，∴|AB|＝＝，|AC|＝＝，|BC|＝＝，∵|AC|2＋|BC|2＝75＋14＝89＝|AB|2.∴△ABC为直角三角形．4．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于()A.B.C.D.答案D解析∵a，b，c三向量共面，则存在不全为零的实数x，y，使c＝xa＋yb，即(7,5，λ)＝x(2，－1,3)＋y(－1,4，－2)＝(2x－y，－x＋4y,3x－2y)，所以解得∴λ＝3x－2y＝.5．如图所示的几何体ABCDE中，DA⊥平面EAB，CB∥DA，EA＝AB＝DA＝2CB，EA⊥AB，M是EC的中点．则下述结论正确的一项是()A．DM⊥EBB．DM⊥ECC．DM⊥EMD．DM⊥BA答案A解析以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，1并设EA＝DA＝AB＝2CB＝2，则E(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,2,1)，D(0,0,2)，M，DM＝，EB＝(－2,2,0)，EC＝(－2,2,1)，EM＝，AB＝(0,2,0)，仅有DM·EB＝0，从而得DM⊥EB.故选A.6．已知O为坐标原点，OA＝(1,2,3)，OB＝(2,1,2)，OP＝(1,1,2)，点Q在直线OP上，那么当QA·QB取得最小值时，点Q的坐标是()A.B.C.D.答案C解析设OQ＝λOP，则QA＝OA－OQ＝OA－λOP＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB＝OB－OQ＝OB－λOP＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以QA·QB＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)＝2(3λ2－8λ＋5)＝2.所以当λ＝时，QA·QB最小，此时OQ＝OP＝，即点Q的坐标为.故选C.二、填空题7．已知向量a＝(－1,0,1)，b＝(1,2,3)，k∈R，若ka－b与b垂直，则k＝________.答案7解析因为(ka－b)⊥b，所以(ka－b)·b＝0，所以ka·b－|b|2＝0.所以k(－1×1＋0×2＋1×3)－()2＝0，解得k＝7.8．若a＝(x,2,2)，b＝(2，－3,5)的夹角为钝角，则实数x的取值范围是________．答案(－∞，－2)解析a·b＝2x－2×3＋2×5＝2x＋4，设a，b的夹角为θ，因为θ为钝角，所以cosθ＝<0，又|a|>0，|b|>0，所以a·b<0，即2x＋4<0，所以x<－2，又a，b不会反向，所以实数x的取值范围是(－∞，－2)．9．已知边长为4的正方形ABCD所在平面外一点P与正方形的中心O的连线PO垂直于平面ABCD，且PO＝6，则PO的中点M到△PBC的重心N的距离为________．答案解析建立如图所示的空间直角坐标系，则B(2,2,0)，C(－2，2,0)，P(0,0,6)，由题意，得M(0,0,3)，N，则MN＝，于是|MN|＝＝.故M到△PBC的重心N的距离为.三、解答题10．已知空间四点A(2,0,0)，B(0,2,1)，C(1,1,1)，D(－1，m，n)．2(1)若AB∥CD，求实数m，n的值；(2)若m＋n＝1，且直线AB和CD所成角的余弦值为，求实数m的值．解(1)AB＝(－2,2,1)，CD＝(－2，m－1，n－1)，由AB∥CD得解得(2)设直线AB和CD所成的角为θ，则有|cosθ|＝＝＝.又m＋n＝1，解得m＝3±2.B级：能力提升练如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是AA1，CB1的中点．(1)求BM，BN的长；(2)求△BMN的面积．解以C为坐标原点，以CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图)．则B(0,1,0)，M(1,0,1)，N.(1)BM＝(1，－1,1)，BN＝，∴|BM|＝＝，|BN|＝＝，故BM的长为，BN的长为.(2)S△BMN＝·BM·BN·sin∠MBN，而cos∠MBN＝cos〈BM，BN〉＝＝＝，∴sin∠MBN＝＝，故S△BMN＝×××＝，即△BMN的面积为.34
