1.1.2导数的概念-(2)VIP专享VIP免费

1．1.2导数的概念1．知道函数的瞬时变化率的概念，理解导数的概念．2．能利用导数的定义求函数的导数．自学教材p4-6学习目标重点：导数的定义．难点：用导数的定义求函数的导数．一差、二化、三极限对导数的定义要注意：第一：Δx是自变量x在x0处的改变量，所以Δx可正可负，但Δx≠0；Δy是函数值的改变量，可以为0；第二：函数在某点的导数，就是在该点的函数值改变量与自变量改变量之比的极限．因此，它是一个常数而不是变量；第三：函数f(x)在x0处可导，是指Δx→0时，ΔyΔx有极限．如果ΔyΔx不存在极限，就说函数在点x0处不可导，或说无导数；第四：f′(x0)的不同表达方式：y′|x＝x0＝f′(x0)＝limx→x0f(x)－f(x0)x－x0＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.[答案]C一、选择题1．设函数f(x)可导，则limΔx→0f(1＋Δx)－f(1)3Δx等于()A．f′(1)B．3f′(1)C.13f′(1)D．f′(3)[解析]原式＝13limΔx→0f(1＋Δx)－f(1)Δx＝13f′(1)．2．设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a等于()A．2B．－2C．3D．－3[答案]A[解析]f′(1)＝limx→1f(x)－f(1)x－1＝limx→1a＝a＝2.[答案]A3．若f′(x0)＝2，则limk→0f(x0－k)－f(x0)2k等于()A．－1B．－2C．1D.12[解析]limk→0f(x0－k)－f(x0)2k＝－12limk→0f[x0＋(－k)]－f(x0)－k＝－12f′(x0)＝－12×2＝－1，故应选A.[例1]已知自由落体的运动方程为s＝gt2，求：(1)落体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度；(2)落体在t0时的瞬时速度；(3)落体在t0＝2秒到t1＝2.1秒这段时间内的平均速度；(4)落体在t＝2秒时的瞬时速度．[分析]平均速度v即平均变化率，而瞬时速度即是平均速度v在Δt→0时的极限值，为此，要求瞬时速度，应先求出平均速度，再求v当Δt→0时的极限值．[解析](1)落体在t0到t0＋Δt这段时间内路程的增量为Δs＝12g(t0＋Δt)2－12gt20因此，落体在这段时间内的平均速度为：v＝ΔsΔt＝12g(t0＋Δt)2－12gt20Δt＝12g·Δt(2t0＋Δt)Δt＝12g(2t0＋Δt)．(2)落体在t0时的瞬时速度为v＝limΔt→0v＝limΔt→012g(2t0＋Δt)＝gt0.(3)落体在t0＝2秒到t1＝2.1秒时，其时间增量Δt＝t1－t0＝0.1秒，由(1)知平均速度为v＝12g(2×2＋0.1)＝2.05g≈2.05×9.8＝20.09(米/秒)．(4)由(2)知落体在t0＝2秒的瞬时速度为v＝g×2≈9.8×2＝19.6(米/秒)．[点评]应注意区分平均速度与瞬时速度的概念、瞬时速度是运动物体在t0到t0＋Δt这一段时间内的平均速度当Δt→0时的极限，即运动方程s＝f(t)在t＝t0时对时间t的导数．[例2]求函数y＝x2在点x＝3处的导数．[分析]利用导数定义求导．[解析](1)求y在点x＝3处的增量．取Δx≠0，Δy＝(3＋Δx)2－32＝6Δx＋(Δx)2.(2)算比值．ΔyΔx＝6Δx＋(Δx)2Δx＝6＋Δx.(3)Δx趋近于0时，ΔyΔx趋近于6.因此y在点x＝3处的导数是6.[点评]求函数y＝f(x)在点x0处的导数的方法．由导数的意义可知，求函数y＝f(x)在点x0处的导数的方法是：(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率ΔyΔx＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx；(3)Δx趋近于0时，若ΔyΔx趋近于一个常数，则这个常数就是函数在该点处的导数．求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度；(2)物体的初速度v0；(3)物体在t＝1时的瞬时速度．[例4]若一物体运动方程如下：(位移：m，时间：s)s＝3t2＋2(t≥3)①29＋3(t－3)2(0≤t<3)②.[分析]由题目可获取以下主要信息：①物体的运动方程已知；②求物体在某一时间段的平均速度和物体在某一时刻的瞬时速度．解答本题可先根据要求的问题选好使用的函数解析式，再根据求平均变化率和瞬时变化率的方法求解平均速度和瞬时速度．[解析](1) 物体在t∈[3,5]内的时间变化量为Δt＝5－3＝2，物体在t∈[3,5]内的位移变化量为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，∴物体在t∈[3,5]上的平均速度为ΔsΔt＝482＝24(m/s)．(2)求物体的初速度v0即求物体在t＝0时的瞬时速度． 物体在t＝0附近的平均变化率为ΔsΔt＝f(0＋Δt)－f(0)Δt＝29＋3[(0＋Δt)－3]2－29－3(0－3)2Δt＝3Δt－18，∴物体在t＝0处的瞬时变化率为limΔt...