第三章§3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其加减运算学习目标1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量等的概念.2.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，了解向量加法的交换律和结合律.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一空间向量的概念思考类比平面向量的概念，给出空间向量的概念.在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量.答案梳理(1)在空间，把具有和的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的或.空间向量也用有向线段表示，有向线段的表示向量的模，向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可记作，其模记为.AB→长度大小方向长度模|a|或|AB→|(2)几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量规定长度为0的向量叫做，记为0单位向量的向量称为单位向量相反向量与向量a长度而方向的向量，称为a的相反向量，记为－a相等向量方向且模的向量称为相等向量，且的有向线段表示同一向量或相等向量零向量模为1相等相反相同相等同向等长知识点二空间向量的加减运算及运算律思考1下面给出了两个空间向量a、b，作出b＋a，b－a.如图，空间中的两个向量a，b相加时，我们可以先把向量a，b平移到同一个平面α内，以任意点O为答案起点作OA→＝a，OB→＝b，则OC→＝OA→＋OB→＝a＋b，AB→＝OB→－OA→＝b－a.思考2由上述的运算过程总结一下，如何求空间两个向量的和与差？下面两个图形中的运算分别运用了什么运算法则？先将两个向量平移到同一个平面，然后运用平面向量的运算法则(三角形法则、平行四边形法则)运算即可；图1是三角形法则，图2是平行四边形法则.答案梳理(1)类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算.OB→＝OA→＋AB→＝a＋b，CA→＝OA→－OC→＝a－b.(2)空间向量加法交换律a＋b＝，空间向量加法结合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).b＋a题型探究类型一有关空间向量的概念的理解例1给出以下结论：①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；②若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b；③在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p.其中不正确的个数是A.1B.2C.3D.4AC→＝A1C1―→；答案解析两个空间向量相等，它们的起点、终点不一定相同，故①不正确；若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则不一定能判断出a＝b，故②不正确；在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有成立，故③正确；④显然正确.故选B.AC→＝A1C1―→；在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等.两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反.反思与感悟A.1B.2C.3D.4跟踪训练1(1)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，下列四对向量：①AB→与C1D1―→；②AC1→与BD1→；③AD1→与C1B→；④A1D→与B1C→.其中互为相反向量的有n对，则n等于答案解析对于①AB→与C1D1―→，③AD1→与C1B→长度相等，方向相反，互为相反向量；对于②AC1→与BD1→长度相等，方向不相反；对于④A1D→与B1C→长度相等，方向相同.故互为相反向量的有2对.(2)如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝3，AD＝2，AA′＝1，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：①单位向量共有多少个？解答由于长方体的高为1，所以长方体的四条高所对应的向量AA′―→，A′A―→，BB′―→，B′B―→，CC′―→，C′C―→，DD′―→，D′D―→，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个.②试写出模为的所有向量.解答由于长方体的左右两侧面的对角线长均为5，故模为5的向量有AD′―→，D′A―→，A′D―→，DA′―→，BC′―→，C′B―→，B′C―→，CB′―→.5③试写出与向量相等的所有向量.解答与向量AB→相等的所有向量(除它自身之外)有A′B′――→，DC→及D′C′――→.AB→④试写出向量的所有相反向量.解答向量AA′―→的相反向量有A′A―→，B′B―→，C′C―→，D′D―→.AA′―→(1)AA′―→－CB→；类型二空间向量的加减运算例2如图，已知长方体ABCD－A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量.AA′―→－C...
