无愧为思维的“体操”彰显新的课程理念——记一道中考题的多种解法VIP专享VIP免费

无愧为思维的“体操”，彰显新的课程理念——记一道中考题的多种解法安徽省安庆市宜秀区五横初中戴向阳邮246051手机13225725503【题目】（兰州中考）已知边长为4的正方形EAF截去一个角后成为五边形ABCDEMP（如图1所示），其中AF=2，BF=1。B试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积。DNC笔者从不同角度对该题作了有效探索，总结出如下五种解法，以飨读者并与读者共勉之。从相似角度寻找DN、PN间关系图1欲求矩形PNDM的面积，须找到PN与DN间的关系式，而图形中隐藏着大量的三角形相似，所以可尝试通过三角形相似，建立DN与PN间等量关系。解法1：如图1所示，令DN=x，PN=y，矩形PNDM面积为S，EAF并延长MP交BF于G点。则有△PBG∽△ABF，PG=4-x，MPGBG=y-3。∴BG∶PG=BF∶AF，即（y-3）∶（4-x）=1∶2，B∴y=-0.5x+5，∴S=xy=-0.5x2+5x（2≤x≤4），此二次函数的图象开口向下，对称轴为x=5。∴当x≤5时，函数的值是随x的增大而增大，对2≤x≤4来说，当x=4时DNC，S有最大值，S最大=-0.5×42+5×4=12。图1从函数概念角度思考。A若令DN=x，NP=y，矩形PNDM面积为S。很明显MP当x变化时，y也随着变化。所以y是x的函数。B那么y是x的什么函数呢？由于P点在直线AB上，因此y是x的一次函数。于是S=xy必是x的二次函数。再利用P点的三个特位置，问题便顺利解决。DN解法2：如图2所示建立直角坐标系，设矩形PNDM面积图2为S。因P点在线段AB上运动，令P（x，y），则y是x的一次函数。于是S=xy，显然S是x的二次函数，不妨设S=ax2+bx+c。当P点在A点（即x=2）时，S=2×4=8；当P点在B点（即x=4）时，S=4×3=12；当P点在AB的中点（即x=3）时，S=3×3.5=10.5。从而有：4a+2b+c=8a=-0.516a+4b+c=12解得b=5所以S=-0.5x2+5x（2≤x≤4），9a+3b+c=10.5c=0此二次函数的图象开口向下，对称轴为x=5。∴当x≤5时，函数的值是随x的增大而增大，对2≤x≤4来说，当x=4时，S有最大值，S最大=-0.5×42+5×4=12。从选择合理坐标系建立函数模型来思考因矩形PNDM的面积与DN、PN有关，即与直线AB上P点有关，而直线AB对应于一次函数，所以只要建立适当坐标系，矩形的长与宽间的一次函数关系便明确了。从而有了如下解法：解法3，如图2所示建立直角坐标系，则有A（2，4）、B（4，3），于是AB的解析式为y=-0.5x+5,故令DN=x时，DM=-0.5x+5。若设矩形PNDM面积为S，于是S=x（-0.5x+5）=-0.5x2+5x（2≤x≤4），此二次函数的图象开口向下，对称轴为x=5。∴当x≤5时，函数的值是随x的增大而增大，对2≤x≤4来说，当x=4时，S有最大值，S最大=-0.5×42+5×4=12。从面积关系审视因本题与面积相关，而图形中存在大量的面积，所以不妨从图形间面积关系，来寻找矩形PNDM的长与宽之间联系，打开问题思路。解法4：如图3所示，设DN=x，PN=y，矩形PNDM面积为S，根据：矩形PNDM面积=矩形FCDE面积-梯形EAPM-梯形BCNP-△AFB面积EAF有：xy=16-0.5（x+2）（4-y）-0.5（y+3）（4-x）-1MP经整得y=-0.5x+5。从而S=xy=-0.5x2+5x（2≤x≤4），B此二次函数的图象开口向下，对称轴为x=5。∴当x≤5时，函数的值是随x的增大而增大，对2≤x≤4来说，当x=4时，S有最大值，S最大=-0.5×42+5×4=12。DNC从整体上考虑图3上述4种解法都是通过两大步完成的，先确定y与x关系式（或函数关系），再探索S与x之间函数关系，从而解决问题。那么，是否有一种直接确定S与x之间函数关系的方法呢？回答是肯定的：解法5，如图4所示，延长BA交DE延长线于H点，H令DN=x，PN=y，矩形PNDM面积为S，易得EH=BF=1，EA=2，EAF△HEA面积=0.5×2×1=1，△HMP面积=0.5×HM×PM=MP0.5（1+4-y）x=0.5（5-y）x。根据面积比等于B相似比有：EA2∶MP2=1∶0.5（5-y）x，即4∶x2=1∶0.5（5-y）x∴10x-2xy=x2∴xy=-0.5x2+5x，故有：DNCS=xy=-0.5x2+5x（2≤x≤4）图4此二次函数的图象开口向下，对称轴为x=5。∴当x≤5时，函数的值是随x的增大而增大，对2≤x≤4来说，当x=4时，S有最大值，S最大=-0.5×42+5×4=12。不难明白，这是一道训练思维、考察思维能力的好题。既有常规解法1，又有独特的奇思妙想2へ5。每一解法的思维方法都别出心裁，且超越了解法1。解法2体现了学生对函数概念深刻理解，解法3体现学生对直角...