无愧为思维的“体操”,彰显新的课程理念——记一道中考题的多种解法安徽省安庆市宜秀区五横初中戴向阳邮246051手机13225725503【题目】(兰州中考)已知边长为4的正方形EAF截去一个角后成为五边形ABCDEMP(如图1所示),其中AF=2,BF=1。B试在AB上求一点P,使矩形PNDM有最大面积。DNC笔者从不同角度对该题作了有效探索,总结出如下五种解法,以飨读者并与读者共勉之。从相似角度寻找DN、PN间关系图1欲求矩形PNDM的面积,须找到PN与DN间的关系式,而图形中隐藏着大量的三角形相似,所以可尝试通过三角形相似,建立DN与PN间等量关系。解法1:如图1所示,令DN=x,PN=y,矩形PNDM面积为S,EAF并延长MP交BF于G点。则有△PBG∽△ABF,PG=4-x,MPGBG=y-3。∴BG∶PG=BF∶AF,即(y-3)∶(4-x)=1∶2,B∴y=-0.5x+5,∴S=xy=-0.5x2+5x(2≤x≤4),此二次函数的图象开口向下,对称轴为x=5。∴当x≤5时,函数的值是随x的增大而增大,对2≤x≤4来说,当x=4时DNC,S有最大值,S最大=-0.5×42+5×4=12。图1从函数概念角度思考。A若令DN=x,NP=y,矩形PNDM面积为S。很明显MP当x变化时,y也随着变化。所以y是x的函数。B那么y是x的什么函数呢?由于P点在直线AB上,因此y是x的一次函数。于是S=xy必是x的二次函数。再利用P点的三个特位置,问题便顺利解决。DN解法2:如图2所示建立直角坐标系,设矩形PNDM面积图2为S。因P点在线段AB上运动,令P(x,y),则y是x的一次函数。于是S=xy,显然S是x的二次函数,不妨设S=ax2+bx+c。当P点在A点(即x=2)时,S=2×4=8;当P点在B点(即x=4)时,S=4×3=12;当P点在AB的中点(即x=3)时,S=3×3.5=10.5。从而有:4a+2b+c=8a=-0.516a+4b+c=12解得b=5所以S=-0.5x2+5x(2≤x≤4),9a+3b+c=10.5c=0此二次函数的图象开口向下,对称轴为x=5。∴当x≤5时,函数的值是随x的增大而增大,对2≤x≤4来说,当x=4时,S有最大值,S最大=-0.5×42+5×4=12。从选择合理坐标系建立函数模型来思考因矩形PNDM的面积与DN、PN有关,即与直线AB上P点有关,而直线AB对应于一次函数,所以只要建立适当坐标系,矩形的长与宽间的一次函数关系便明确了。从而有了如下解法:解法3,如图2所示建立直角坐标系,则有A(2,4)、B(4,3),于是AB的解析式为y=-0.5x+5,故令DN=x时,DM=-0.5x+5。若设矩形PNDM面积为S,于是S=x(-0.5x+5)=-0.5x2+5x(2≤x≤4),此二次函数的图象开口向下,对称轴为x=5。∴当x≤5时,函数的值是随x的增大而增大,对2≤x≤4来说,当x=4时,S有最大值,S最大=-0.5×42+5×4=12。从面积关系审视因本题与面积相关,而图形中存在大量的面积,所以不妨从图形间面积关系,来寻找矩形PNDM的长与宽之间联系,打开问题思路。解法4:如图3所示,设DN=x,PN=y,矩形PNDM面积为S,根据:矩形PNDM面积=矩形FCDE面积-梯形EAPM-梯形BCNP-△AFB面积EAF有:xy=16-0.5(x+2)(4-y)-0.5(y+3)(4-x)-1MP经整得y=-0.5x+5。从而S=xy=-0.5x2+5x(2≤x≤4),B此二次函数的图象开口向下,对称轴为x=5。∴当x≤5时,函数的值是随x的增大而增大,对2≤x≤4来说,当x=4时,S有最大值,S最大=-0.5×42+5×4=12。DNC从整体上考虑图3上述4种解法都是通过两大步完成的,先确定y与x关系式(或函数关系),再探索S与x之间函数关系,从而解决问题。那么,是否有一种直接确定S与x之间函数关系的方法呢?回答是肯定的:解法5,如图4所示,延长BA交DE延长线于H点,H令DN=x,PN=y,矩形PNDM面积为S,易得EH=BF=1,EA=2,EAF△HEA面积=0.5×2×1=1,△HMP面积=0.5×HM×PM=MP0.5(1+4-y)x=0.5(5-y)x。根据面积比等于B相似比有:EA2∶MP2=1∶0.5(5-y)x,即4∶x2=1∶0.5(5-y)x∴10x-2xy=x2∴xy=-0.5x2+5x,故有:DNCS=xy=-0.5x2+5x(2≤x≤4)图4此二次函数的图象开口向下,对称轴为x=5。∴当x≤5时,函数的值是随x的增大而增大,对2≤x≤4来说,当x=4时,S有最大值,S最大=-0.5×42+5×4=12。不难明白,这是一道训练思维、考察思维能力的好题。既有常规解法1,又有独特的奇思妙想2へ5。每一解法的思维方法都别出心裁,且超越了解法1。解法2体现了学生对函数概念深刻理解,解法3体现学生对直角...