第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理课标要求学法指导1.通过对特殊三角形边角间数量关系的探究发现正弦定理,初步学会运用由特殊到一般的思想方法发现数学规律.2.了解正弦定理的推导过程.3.能利用正弦定理解决两类解三角形的基本问题.4.能利用正弦定理及其变形判断三角形的形状.1.学习本节内容时,要善于运用平面几何知识以及平面向量知识证明正弦定理.2.应熟练掌握利用正弦定理进行三角形中的边角关系的相互转化.新课导入知识探究题型探究达标检测新课导入——实例引领思维激活实例:已知△ABC的外接圆的半径为R,△ABC中∠A所对的边BC长为a,∠B所对的边AC长为b,∠C所对的边AB长为c.(1)△ABC为直角三角形时如图(1)所示,C=90°,则AB=2R.a=2RsinA,b=2RsinB,C=2R=2RsinC.(2)△ABC为锐角三角形时,如图(2).连结AO并延长交☉O于点D,连结CD.则∠B=∠D,AD=2R,AC⊥DC,在Rt△ADC中,b=2RsinD,∴b=2RsinB.同理可得a=2RsinA,c=2RsinC.(3)△ABC为钝角三角形时,如图(3)所示.连结BO并延长交☉O于点E,连结AE,则BE=2R,AB⊥AE,∠E+∠C=180°.在Rt△ABE中,c=2RsinE=2Rsin(180°-C)=2RsinC.易证a=2RsinA,b=2RsinB.想一想根据实例你能得出三角形中边角之间的关系式吗?知识探究——自主梳理思考辨析1.正弦定理在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即sinaA==sincC.sinbB拓展提升:用向量方法证明正弦定理的过程.当△ABC为锐角三角形时,如图1,过A作单位向量i垂直于AC�,又AC�+CB�=AB�,两边同乘以单位向量i,i·(AC�+CB�)=i·AB�,则i·AC�+i·CB�=i·AB�,∴|i||AC�|cos90°+|i||CB�|cos(90°-C)=|i||AB�|cos(90°-A),∴asinC=csinA,∴sinaA=sincC,同理:若过C作单位向量i垂直于CB�得sincC=sinbB,∴sinaA=sinbB=sincC.当△ABC为钝角三角形时,设A>90°,过A作单位向量i垂直于向量AC�(如图2),证明同上.当△ABC为直角三角形时,由三角函数定义知,显然成立.思考1:正弦定理是用一个公式给出的,它有一些常见的变形,你能把下列变形补充完整吗?设R是△ABC的外接圆半径,有sinaA=sinbB=sincC=2R,于是有①a=2RsinA,b=,c=.②sinA=2aR,sinB=,sinC=.③a·sinB=b·,b·sinC=c·,a·sinC=c·.④a∶b∶c=∶∶.提示:①2RsinB2RsinC②2bR2cR③sinAsinBsinA④sinAsinBsinC2.解三角形一般地,把三角形的三个内角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的,已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.3.正弦定理的应用正弦定理主要用于解决下列两类问题:(1)已知△ABC两角和任意一边,求其他两边和一角.(2)已知△ABC两边和其中一边的对角,求另外一边的对角和其他的边角元素思考2:在△ABC中,若A>B,是否有sinA>sinB?反之,是否成立?提示:若A>B,则a>b,又sinaA=sinbB,所以sinA>sinB,反之,若sinA>sinB,则a>b,即A>B,故A>B⇔sinA>sinB.拓展提升:在△ABC中,已知a,b和A时三角形解的情况:见附表题型探究——典例剖析举一反三题型一已知两角及一边解三角形【例1】在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,求A,b,c.解:A=180°-(B+C)=180°-(60°+75°)=45°.由sinbB=sinaA得,b=sinsinaBA=8sin60sin45=46,由sinaA=sincC得,c=sinsinaCA=8sin75sin45=268422=4(3+1).∴A=45°,b=46,c=4(3+1).题后反思已知两角和一边(如B,C,a),求其他角与边的解题流程:①A=180°-(B+C);②由正弦定理得,b=sinsinaBA;③由正弦定理得,c=sinsinaCA.解:根据三角形内角和定理,得C=180°-(A+B)=180°-(45°+30°)=105°,根据正弦定理得:b=sinsinaBA=2sin30sin45=12222=2,跟踪训练1-1:在△ABC中,已知A=45°,B=30°,a=2,求出其他边和角的大小.c=sinsinaCA=2sin105sin45=2sin75sin45=622422=3+1.题型二已知两边及一边的对角解三角形【例2】(1)在△ABC中,若c=6,C=π3,a=2,求A,B,b.(2)在△ABC中,a=1,b=3,A=30°,求B,C,c.解:(1)由sinaA=sincC,得sinA=sinaCc=22.∴A=π4或A=34π.又 c>a,∴C>A,∴只能取A=π4,∴B=π-π3-π4=5π12,b=sinsincBC=5π6sin12πsin3=3+1.(2)根据正弦定理,sinB=sinbAa=3sin301=32,∴B=60°或120°,当B=60°时,C=180°-(A+B)=90°,∴c=sinbB=3sin60=2,当B=120°时,C=180°-(A+B)=30°,c=a=1.题...
