1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则VIP免费

1.2《导数的计算》教学目标•熟练运用导数的四则运算法则，并能灵活运用•教学重点：熟练运用导数的四则运算法则•教学难点：商的导数的运用一、复习目标了解导数概念的实际背景、理解导数的几何意义、掌握函数y=xn(nN*)的导数公式、会求多项式函数的导数.二、重点解析导数的几何意义是曲线的切线的斜率,导数的物理意义是某时刻的瞬时速度.无限逼近的极限思想是建立导数概念,用导数定义求函数的导数的基本思想.导数的定义:利用定义求导数的步骤:(1)求y;xy(2)求;xy(3)取极限得f(x)=lim.x0f(x)=lim.xf(x+x)-f(x)x0三、知识要点对于函数y=f(x),如果自变量x在x0处有增量x,那么函数y相应的有增量y=f(x0+x)-f(x0),比值叫做函数y=f(x)在x0到x0+x之间的平均变化率,即=.xyxyxf(x0+x)-f(x0)xy如果当x0时,有极限,就说函数y=f(x)在点x0处可导,并把这个极限叫做f(x)在点x0处的导数(或变化率),记作:f(x0)或y|x=x0,即:xf(x0+x)-f(x0)f(x0)=lim=lim.x0xyx0函数y=f(x)在点x0处的导数f(x0),就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率k,即:k=tan=f(x0).2.导数的意义(1)几何意义:(2)物理意义:函数S=s(t)在点t0处的导数s(t0),就是当物体的运动方程为S=s(t)时,物体运动在时刻t0时的瞬时速度v,即:v=s(t0).1.导数的概念3.几种常见函数的导数(1)c=0(c为常数),(xn)=nxn-1(nQ);4.如果f(x),g(x)有导数,那么:[f(x)-g(x)]=f(x)-g(x),[f(x)+g(x)]=f(x)+g(x),[cf(x)]=cf(x).典型例题1解:(1) y=3x3+6x,∴y=(3x3)+(6x)求下列函数的导数:(1)y=3x(x2+2);(2)y=(2+x3)2;(2) y=4+4x3+x6,(3)y=(x-1)(2x2+1);(4)y=(2x2+3)(3x-2).=9x2+6.∴y=4+(4x3)+(x6)=12x2+6x5.(3) y=2x3-2x2+x-1,∴y=6x2-4x+1.(4) y=6x3-4x2+9x-6,∴y=18x2-8x+9.典型例题2已知f(x)的导数f(x)=3x2-2(a+1)x+a-2,且f(0)=2a,若a≥2,求不等式f(x)<0的解集.解: f(x)=3x2-2(a+1)x+a-2,∴可设f(x)=x3-(a+1)x2+(a-2)x+b. f(0)=2a,∴b=2a.∴f(x)=x3-(a+1)x2+(a-2)x+2a=x2(x-a)-x(x-a)-2(x-a)=(x-a)(x2-x-2)=(x+1)(x-2)(x-a)令(x+1)(x-2)(x-a)<0,由于a≥2,则当a=2时,不等式f(x)<0的解集为(-∞,-1);当a>2时,不等式f(x)<0的解集为(-∞,-1)∪(2,a).典型例题3求曲线y=x3+3x2-5过点M(1,-1)的切线方程.解:由y=x3+3x2-5知y=3x2+6x,设切点为P(x0,y0),则y|x=x0=3x02+6x0,曲线在点P处的切线方程为y-y0=(3x02+6x0)(x-x0).又切线过点M(1,-1),∴-1-y0=(3x02+6x0)(1-x0),即y0=3x03+3x02-6x0-1.而点P(x0,y0)在曲线上,满足y0=x03+3x02-5,∴x03+3x02-5=3x03+3x02-6x0-1.整理得x03-3x0+2=0.解得x0=1或x0=2.∴切点为P(1,-1)或P(-2,-1).故所求的切线方程为9x-y-10=0或y=-1.课后练习1求下列函数的导数:(1)y=(x2+1)(x-2);(2)y=(x-1)(x3+2x+6).解:(1) y=x3-2x2+x-2,∴y=(x3)-(2x2)+(x)-2(2) y=x4-x3+2x2+4x-6,=3x2-4x+1.∴y=(x4)-(x3)+(2x2)+(4x)-6=4x3-3x2+4x+4.课后练习2一质点作直线运动,它所经过的路程S(单位:m)和时间t(单位:s)的关系是S=3t2+t+1.(1)求[2,2.01]这段时间内质点的平均速度;(2)当t=2时的瞬时速度.解:(1) S=32.012+2.01+1-(322+2+1)=0.1303.=0.13030.01∴v=tS=13.03(m/s).(2) v=S=6t+1.∴v|t=2=13.即当t=2时,质点运动的瞬时速度为13m/s.课后练习3已知函数f(x)=2x3+ax与g(x)=bx2+c的图象都过点P(2,0),且在点P处有公共切线,求f(x)、g(x)的表达式.解: f(x)=2x3+ax的图象过点P(2,0),∴a=-8.∴f(x)=2x3-8x.∴f(x)=6x2-8. g(x)=bx2+c的图象也过点P(2,0),∴4b+c=0.又g(x)=2bx,4b=g(2)=f(2)=16,∴b=4.∴c=-16.∴g(x)=4x2-16.综上所述,f(x)=2x3-8x,g(x)=4x2-16.课后练习4如果曲线y=x3+x-10的某一切线与直线y=4x+3平行,求切点坐标与切线方程.解: 切线与直线y=4x+3平行,∴切线斜率为4.又切线在x0处斜率为y|x=x0∴3x02+1=4.∴x0=1.当x0=1时,y0=-8;当x0=-1时,y0=-12.∴切点坐标为(1,-8)或(-1,-12).切线方程为y=4x-12或y=4x-8.=(x3+x-10)|x=x0=3x02+1.课后练习5已知曲线S:y=...