勾股定理及其逆定理的综合应用VIP专享VIP免费

第十七章勾股定理17.2勾股定理的逆定理第2课时勾股定理及其逆定理的应用名师点金勾股定理及其逆定理的应用：单一应用：先由勾股定理的逆定理得出直角三角形，再求这个直角三角形的角和面积；综合应用：先由勾股定理求出三角形的边长，再由勾股定理的逆定理确定三角形的形状，进而解决其他问题；逆向应用：如果一个三角形两条较小边长的平方和不等于最大边长的平方，那么这个三角形不是直角三角形．11类型勾股定理的验证1.一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了一种新的验证勾股定理的方法．如图，火柴盒的一个侧面四边形ABCD倒下到四边形AB′C′D′的位置，连接CC′，设AB＝a，BC＝b，AC＝c.请利用四边形BCC′D′的面积证明勾股定理：a2＋b2＝c2.由题易知Rt△C′D′ARt△△ABC，∴∠C′AD′＝∠ACB.又 ∠ACB＋∠BAC＝90°，∴∠BAC＋∠C′AD′＝90°.∴∠CAC′＝90°. S梯形BCC′D′＝SRt△ABC＋SRt△AC′D′＋SRt△CAC′，∴(a＋b)(a＋b)＝ab＋ab＋c2.∴(a＋b)2＝2ab＋c2.∴a2＋b2＝c2.12证明：12121222勾股定理在折叠中的应用类型2．(2015·泰州)如图，长方形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE，BE分别与CD相交于点O，G，且OE＝OD，求AP的长． 四边形ABCD是长方形，∴∠D＝∠A＝∠C＝90°，AD＝BC＝6，CD＝AB＝8.根据题意得△ABP≌△EBP，∴EP＝AP，∠E＝∠A＝90°，BE＝AB＝8.解：在△ODP和△OEG中，∴△ODP≌△OEG.∴OP＝OG，PD＝GE.∴DG＝EP.设AP＝EP＝x，则GE＝PD＝6－x，DG＝x，∴CG＝8－x，BG＝8－(6－x)＝2＋x.根据勾股定理得BC2＋CG2＝BG2.即62＋(8－x)2＝(x＋2)2，解得x＝4.8，∴AP＝4.8.,,,DEODOEDOPEOGìÐ=Ðïïïï=íïïÐ=Ðïïî解：33勾股定理在最短路径中的应用类型3．(2015·资阳)如图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径的长是()A．13cmB．2cmC.cmD．2cm616134A44勾股定理的逆定理在判断方向中的应用4．如图，小明的家位于一条南北走向的河流MN的东侧A处，某一天小明从家出发沿南偏西30°方向走60m到达河边B处取水，然后沿另一方向走80m到达菜地C处浇水，最后沿第三方向走100m回到家A处．问小明在河边B处取水后是沿哪个方向行走的？并说明理由．类型小明在河边B处取水后是沿南偏东60°方向行走的．理由如下： AB＝60m，BC＝80m，AC＝100m，∴AB2＋BC2＝AC2.∴∠ABC＝90°.又 AD∥NM，∴∠NBA＝∠BAD＝30°.∴∠MBC＝180°－90°－30°＝60°.∴小明在河边B处取水后是沿南偏东60°方向行走的．解：55勾股定理的逆定理在判断构成直角三角形条件中的应用5．如图，在4×3的正方形网格中有从点A出发的四条线段AB，AC，AD，AE，它们的另一个端点B，C，D，E均在格点(正方形网格的交点)上．(1)若每个正方形的边长都是1，分别求出AB，AC，AD，AE的长度(结果保留根号)．(2)在AB，AC，AD，AE四条线段中，是否存在三条线段，使它们能构成直角三角形？如果存在，请指出是哪三条线段，并说明理由．类型(1)AB＝AC＝AD＝2AE＝2(2)存在，线段AB，AC，AD可以构成直角三角形．理由： AB＝AD＝2AC＝∴AD2＋AB2＝AC2，由勾股定理的逆定理可知，线段AB，AC，AD可以构成直角三角形．5，解：5.13，2，5，13，2，66勾股定理与它的逆定理的综合应用6．如图，点E是正方形ABCD内一点，连接AE，BE，CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE＝1，BE＝2，CE＝3，求∠BE′C的度数．类型如图，连接EE′.由题意可知△ABE△CBE′，∴E′C＝AE＝1，BE′＝BE＝2，∠ABE＝∠CBE′.又 ∠ABE＋∠EBC＝90°，∴∠CBE′＋∠EBC＝90°，即∠EBE′＝90°，则由勾股定理，得EE′＝2.在△EE′C中，EE′＝2，E′C＝1，EC＝3.由勾股定理的逆定理可知∠EE′C＝90°. BE＝BE′，∠EBE′＝90°，∴∠BE′E＝＝45°，∴∠BE′C＝∠BE′E＋∠EE′C＝45°＋90°＝135°.2解：2180902°-°77勾股定理及其逆定理在网格中的应用7．如图是由边长为1的小正方形组成的网格，点A，B，C，D均在格...