1.3.2极大值与极小值[A基础达标]1．设函数f(x)＝xex，则()A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的极小值点解析：选D．求导得f′(x)＝ex＋xex＝ex(x＋1)，令f′(x)＝0，解得x＝－1，易知x＝－1是函数f(x)的极小值点．2．函数f(x)＝lnx－x在区间(0，e)上的极大值为()A．－eB．－1C．1－eD．0解析：选B．函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－1.令f′(x)＝0，得x＝1.当x∈(0，1)时，f′(x)>0，当x∈(1，e)时，f′(x)<0，故f(x)在x＝1处取得极大值f(1)＝ln1－1＝0－1＝－1.3．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是()A．－1
6D．a<－1或a>2解析：选C．由题意知f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)＝0有两个不相等的根，所以Δ>0，解得a>6或a<－3.故选C．4．函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示，则x＋x等于()A．B．C．D．解析：选C．由图象可得f(x)＝0的根为0，1，2，故d＝0，f(x)＝x(x2＋bx＋c)，则1，2为x2＋bx＋c＝0的根，由根与系数的关系得b＝－3，c＝2，故f(x)＝x3－3x2＋2x，则f′(x)＝3x2－6x＋2，由题图可得x1，x2为3x2－6x＋2＝0的根，则x1＋x2＝2，x1x2＝，故x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝.5．若函数f(x)＝x3＋mx2－m2x＋1(m为常数，且m>0)有极大值9，则m的值是________．解析：由f′(x)＝3x2＋2mx－m2＝(x＋m)(3x－m)＝0，得x＝－m或x＝m，当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－m)－mmf′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗1从而可知，当x＝－m时，函数f(x)取得极大值9，即f(－m)＝－m3＋m3＋m3＋1＝9，所以m＝2.答案：26．如果函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数y＝f(x)在区间内单调递增；②函数y＝f(x)在区间(－，3)内单调递减；③函数y＝f(x)在区间(4，5)内单调递增；④当x＝2时，函数y＝f(x)有极小值；⑤当x＝－时，函数y＝f(x)有极大值．则上述判断中正确的是________(填序号)．解析：从图象知，x∈(－3，－2)时f′(x)<0，当x∈时f′(x)>0，所以函数f(x)在内不单调，同理，函数f(x)在内也不单调，故①②均不正确；当x∈(4，5)时f′(x)>0，所以函数y＝f(x)在区间(4，5)内单调递增，故③正确；由于f′(2)＝0，并且在x＝2附近的左、右两侧分别有f′(x)>0与f′(x)<0，所以当x＝2时函数取得极大值，而在x＝－附近的左、右两侧均有f′(x)>0，所以x＝－不是函数的极值点，即④⑤均不正确．故填③.答案：③7．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1，0)点，则f(x)的极大值为________，极小值为________．解析：因为f(x)与x轴切于(1，0)点，f′(x)＝3x2－2px－q，所以f′(1)＝3－2p－q＝0.又f(1)＝1－p－q＝0，所以p＝2，q＝－1.所以f′(x)＝3x2－4x＋1.由f′(x)＝0得x1＝，x2＝1.当x<时f′(x)>0，f(x)为增函数．当1时，f′(x)>0，f(x)为增函数．所以f(x)极大值＝f()＝，f(x)极小值＝f(1)＝0.答案：08．已知函数f(x)＝x3－2x2＋x－2，g(x)＝f(x)＋mx，若g(x)的极值存在，求实数m的取值范围以及函数g(x)取得极值时对应的自变量x的值．解：g(x)＝f(x)＋mx＝x3－2x2＋x－2＋mx，则g′(x)＝3x2－4x＋1＋m，令g′(x)＝0，当Δ<0时，g′(x)>0恒成立，函数g(x)单调递增，无极值，所以函数有极值时Δ≥0，方程3x2－4x＋1＋m＝0有实数根，由Δ＝4(1－m)≥0，得m≤1.①当m＝1时，g′(x)＝0有实数根x＝，在x＝附近的左、右两侧均有g′(x)>0，故函数2g(x)无极值；②当m<1时，g′(x)＝0有两个实数根x1＝(2－)，x2＝(2＋)，当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：x(－∞，x1)x1(x1，x2)x2(x2，＋∞)g′(x)＋0－0＋g(x)g(x1)g(x2)故在m∈时，函数g(x)有极值，当x＝(2－)时，g(x)取得极大值；当x＝(2＋)时，g(x)取得极小值．9．设f(x)＝alnx＋＋x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴．(1)求a的值；(2)求函数f(x)的极值．解：(1)因为f(x)＝alnx＋＋x＋1，故f′(x)＝－＋.由于曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴，故该切线斜率为0，即f′(1)＝0，从而a－＋＝0...
