专题能力训练12数列的通项与求和一、能力突破训练1.已知数列{an}是等差数列,a1=tan225°,a5=13a1,设Sn为数列{(-1)nan}的前n项和,则S2016=()A.2016B.-2016C.3024D.-30242.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2+n,数列{bn}满足bn=1anan+1(n∈N*),Tn是数列{bn}的前n项和,则T9等于()A.919B.1819C.2021D.9403.(2019河北衡水中学二调,6)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,a2=2,且对于任意n>1,n∈N*,满足Sn+1+Sn-1=2(Sn+1),则S10的值为()A.90B.91C.96D.1004.设数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,{Sn+nan}为常数列,则an=()A.13n-1B.2n(n+1)C.1(n+1)(n+2)D.5-2n35.已知数列{an},构造一个新数列a1,a2-a1,a3-a2,…,an-an-1,…,此数列是首项为1,公比为13的等比数列,则数列{an}的通项公式为()A.an=32−32×(13)n,n∈N*B.an=32+32×(13)n,n∈N*C.an={1,n=1,32+32×(13)n,n>2,且n∈N*D.an=1,n∈N*6.若数列{an}满足an+1=11-an,a11=2,则a1=.7.(2019云南师范大学附中高三月考,15)在数列{an}中,a2=5,an+1-an=2n(n∈N*),则数列{an}的通项公式an=.8.(2019福建厦门高二检测,15)已知数列{an}满足3a1+32a2+33a3+…+3nan=2n+1,则{an}的通项公式为.9.设数列{an}的前n项和为Sn.已知S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*.(1)求通项公式an;(2)求数列{|an-n-2|}的前n项和.10.(2019广东汕头一模,17)已知数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=nan+2an-1.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{1an2}的前n项和为Tn,证明:Tn<4.11.已知数列{an}和{bn}满足a1=2,b1=1,an+1=2an(n∈N*),b1+12b2+13b3+…+1nbn=bn+1-1(n∈N*).(1)求an与bn;(2)记数列{anbn}的前n项和为Tn,求Tn.二、思维提升训练12.(2019安徽合肥第二次质检,11)“垛积术”(隙积术)是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创,南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法,有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等.如图,某仓库中部分货物堆放成“菱草垛”:自上而下,第一层1件,以后每一层比上一层多1件,最后一层是n件.已知第一层货物的单价是1万元,从第二层起,货物的单价是上一层单价的910.若这堆货物的总价是100-200(910)n万元,则n的值为()A.7B.8C.9D.1013.设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn=.14.设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,a2=2,且an+2=3Sn-Sn+1+3,n∈N*.(1)证明:an+2=3an;(2)求Sn.15.已知{an}是等比数列,前n项和为Sn(n∈N*),且1a1−1a2=2a3,S6=63.(1)求{an}的通项公式;(2)若对任意的n∈N*,bn是log2an和log2an+1的等差中项,求数列{(-1)nbn2}的前2n项和.16.(2019湖南湘西四校联考,17)已知数列{an},{bn},Sn为数列{an}的前n项和,a1=2b1,Sn=2an-2,nbn+1-(n+1)bn=n2+n.(1)求数列{an}的通项公式;(2)证明:数列{bnn}为等差数列;(3)若cn={-anbn2,n,为奇数anbn4,n,为偶数求数列{cn}的前2n项和.专题能力训练12数列的通项与求和一、能力突破训练1.C解析 a1=tan225°=1,∴a5=13a1=13,则公差d=a5-a15-1=13-14=3,∴an=3n-2.又(-1)nan=(-1)n(3n-2),∴S2016=(a2-a1)+(a4-a3)+(a6-a5)+…+(a2014-a2013)+(a2016-a2015)=1008d=3024.2.D解析 数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2+n,∴当n=1时,a1=2;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n,∴an=2n(n∈N*),∴bn=1anan+1=12n(2n+2)=14(1n-1n+1),T9=14[(1-12)+(12-13)+…+(19-110)]=14×(1-110)=940.3.B解析 Sn+1+Sn-1=2(Sn+1),∴Sn+1-Sn=Sn-Sn-1+2,∴an+1-an=2.∴当n≥2时,数列{an}是等差数列,公差为2.又a1=1,a2=2,∴S10=1+9×2+9×82×2=91.4.B解析 数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,∴S1+1×a1=1+1=2. {Sn+nan}为常数列,∴Sn+nan=2.当n≥2时,(n+1)an=(n-1)an-1,从而a2a1·a3a2·a4a3·…·anan-1=13·24·…·n-1n+1,∴an=2n(n+1).当n=1时上式成立,∴an=2n(n+1).5.A解析因为数列a1,a2-a1,a3-a2,…,an-an-1,…是首项为1,公比为13的等比数列,所以an-an-1=(13)n-1,n≥2.所以当n≥2时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1+13+(13)2+…+(13)n-1=1-(13)n1-13=32−32×(13)n.又当n=1时,an=32−32×(13)n=1,则an=32−32×(13)n,n∈N*.6.12解析由a11=2及an+1=11-an,得a10=12.同理a9=-1,a8=2,a7=12,….所以数列{an}是周期为3的数列.所以a1=a10=12.7.2n+1解析由题...
