3.1.4空间向量的直角坐标运算[A基础达标]1．在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A的坐标为(－1，2，1)，点B的坐标为(1，3，4)，则()A．AB＝(－1，2，1)B．AB＝(1，3，4)C．AB＝(2，1，3)D．AB＝(－2，－1，－3)解析：选C．因为A(－1，2，1)，B(1，3，4)，所以AB＝(2，1，3)．2．已知△ABC的三个顶点为A(3，3，2)，B(4，－3，7)，C(0，5，1)，则BC边上的中线长为()A．2B．3C．4D．5解析：选B．设BC边的中点为D，则AD＝(AB＋AC)＝(－1，－2，2)，所以|AD|＝＝3.3．若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)，满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x的值为()A．2B．－2C．0D．1解析：选A．因为c－a＝(0，0，1－x)，2b＝(2，4，2)，所以(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝2－2x＝－2.所以x＝2.4．若△ABC中，∠C＝90°，A(1，2，－3k)，B(－2，1，0)，C(4，0，－2k)，则k的值为()A．B．－C．2D．±解析：选D．CB＝(－6，1，2k)，CA＝(－3，2，－k)，则CB·CA＝(－6)×(－3)＋2＋2k×(－k)＝－2k2＋20＝0，所以k＝±.5．已知a＝(x，1，2)，b＝(1，2，－y)，且(2a＋b)∥(－a＋2b)，则()A．x＝，y＝1B．x＝，y＝－4C．x＝2，y＝－D．x＝1，y＝－1解析：选B．2a＋b＝(2x＋1，4，4－y)，－a＋2b＝(2－x，3，－2y－2)，因为(2a＋b)∥(－a＋2b)，则存在非零实数λ，使得2a＋b＝λ(－a＋2b)，所以所以6．已知2a＋b＝(0，－5，10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，则〈b，c〉＝________．1解析：由题意，得|c|＝3，(2a＋b)·c＝0×1＋(－5)×(－2)＋10×(－2)＝－10，所以2a·c＋b·c＝－10.又a·c＝4，所以b·c＝－18，所以cos〈b，c〉＝＝－，所以〈b，c〉＝120°.答案：120°7．已知点A(λ＋1，μ－1，3)，B(2λ，μ，λ－2μ)，C(λ＋3，μ－3，9)三点共线，则实数λ＝________，μ＝________．解析：因为AB＝(λ－1，1，λ－2μ－3)，AC＝(2，－2，6)，由A，B，C三点共线，得AB∥AC，即＝－＝，解得λ＝0，μ＝0.答案：008．若a＝(x，2，2)，b＝(2，－3，5)的夹角为钝角，则实数x的取值范围是________．解析：a·b＝2x－2×3＋2×5＝2x＋4，设a，b的夹角为θ，因为θ为钝角，所以cosθ＝＜0，又|a|＞0，|b|＞0，所以a·b＜0，即2x＋4＜0，所以x＜－2.又a，b不会反向，所以实数x的取值范围是(－∞，－2)．答案：(－∞，－2)9．如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，过点B作BM⊥AC1于点M，求点M的坐标．解：由题意，知A(a，0，0)，B(a，a，0)，C1(0，a，a)，设M(x，y，z)，则AC1＝(－a，a，a)，AM＝(x－a，y，z)，BM＝(x－a，y－a，z)．因为BM⊥AC1，所以BM·AC1＝0.所以－a(x－a)＋a(y－a)＋az＝0，即x－y－z＝0.①因为AC1∥AM，所以x－a＝－λa，y＝λa，z＝λa(λ∈R)，即x＝a－λa，y＝λa，z＝λa.②由①②，得x＝，y＝，z＝.所以点M的坐标为(，，)．10．已知四边形ABCD的顶点坐标分别是A(3，－1，2)，B(1，2，－1)，C(－1，1，－3)，D(3，－5，3)，求证：四边形ABCD是一个梯形．证明：因为AB＝(1，2，－1)－(3，－1，2)＝(－2，3，－3)，CD＝(3，－5，3)－(－1，1，－3)＝(4，－6，6)，且＝＝，所以AB与CD共线．又因为AB与CD不共线，所以AB∥CD.又因为AD＝(3，－5，3)－(3，－1，2)＝(0，－4，1)，BC＝(－1，1，－3)－(1，2，－1)＝(－2，－1，－2)，且≠≠，所以AD与BC不平行．所以四边形ABCD为梯形．2[B能力提升]11．从点P(1，2，3)出发，沿着向量v＝(－4，－1，8)方向取点Q，使|PQ|＝18，则Q点的坐标为()A．(－7，0，19)B．(9，4，－13)C．(－7，0，19)或(9，4，－13)D．(－1，－2，3)或(1，－2，－3)解析：选C．设Q(x0，y0，z0)，则PQ＝λv，即(x0－1，y0－2，z0－3)＝λ(－4，－1，8)．由|PQ|＝18得＝18，所以λ＝±2，所以(x0－1，y0－2，z0－3)＝±2(－4，－1，8)，所以或12．已知O为坐标原点，OA＝(1，2，3)，OB＝(2，1，2)，OP＝(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，则当QA·QB取得最小值时，点Q的坐标为()A．B．C．D．解析：选C．设OQ＝λOP，则QA＝OA－OQ＝OA－λOP＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB＝OB－OQ...
