高中数学2.6距离的计算同步精练北师大版选修2-11．已知向量n＝(1,0，－1)与直线l垂直，且l经过点A(2,3,1)，则点P(4,3,2)到l的距离为()A.B.C.D.2．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在平面α内，则点P(－2,1,4)到α的距离为()A．10B．3C.D.3．在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是线段BB1，B1C1的中点，则直线MN与平面ACD1间的距离是()A.B.C.D.4．已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，则点A1到对角线BC1所在的直线的距离为()A.aB．aC.aD.5．如图，在长方体ABCDA′B′C′D′中，AB＝2，BC＝3，AA′＝4，则点B到直线A′C的距离为________．6．如图，已知△ABC是以∠B为直角的直角三角形，SA⊥平面ABC，SA＝BC＝2，AB＝4，M，N，D分别是SC，AB，BC的中点，则点A到平面SND的距离为________．7．如图所示，正方体的棱长为1，E，F，M，N分别是所在棱的中点，则平面A1EF与平面B1NMD1间的距离为________．18．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点．在侧面PAB内找一点N，使NE⊥平面PAC，并分别求出点N到AB和AP的距离．9．已知三棱柱ABCA1B1C1是各条棱长均为a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点．求点C到平面AB1D的距离．2参考答案1.解析： n＝(1,0，－1)与直线l垂直，∴n的单位向量n0＝，0，－.又 l经过点A(2,3,1)，∴＝(2,0,1)，∴在n上的投影·n0＝(2,0,1)·，0，－＝.∴点P到l的距离为.答案：B2.解析： α的一个法向量为n＝(－2，－2,1)，∴n0＝－，－，.又点A(－1,3,0)在α内，∴＝(－1，－2,4)，∴点P到平面α的距离为|·n0|＝(－1，－2,4)·－，－，＝.答案：D3.解析：如图，建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，D1(0,0,1)，M(1,1，)，N(，1,1)，C(0,1,0)．所以＝(－1,0,1)，＝(－，0，).所以＝.又直线AD1与MN不重合，所以MN∥AD1.又MN平面ACD1，所以MN∥平面ACD1.因为＝(－1,0,1)，＝(0,1，－1)．设平面ACD1的法向量n＝(x，y，z)，则n·＝0，n·＝0，所以－x＋z＝0，y－z＝0.所以x＝y＝z.令x＝1，则n＝(1,1,1)．又因为＝1,1，－(1,0,0)＝0,1，，所以点M到平面ACD1的距离d＝＝\s\up7()故直线MN与平面ACD1间的距离为.答案：D34.解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(a,0，a)，B(a，a,0)，C1(0，a，a)．∴＝(0，a，－a)，＝(－a,0，a)．∴||＝a，||＝a.∴点A1到BC1的距离d＝＝＝a.答案：A5.解析： AB＝2，BC＝3，AA′＝4，则B(2,0,0)，C(2,3,0)，A′(0,0,4)，∴＝(0,0,4)－(2,3,0)＝(－2，－3,4)，∴＝(2,0,0)－(2,3,0)＝(0，－3,0)，∴在上的投影为＝＝＝.∴点B到直线A′C的距离d＝＝＝.答案：6.解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则N(0,2,0)，S(0,0,2)，D(－1,4,0)，∴＝(0，－2,2)，＝(－1,4，－2)．设平面SND的法向量为n＝(x，y,1)．∴n·＝0，n·＝0，∴－2y＋2＝0，－x＋4y－2＝0，∴x＝2，y＝1.4∴n＝(2,1,1)． ＝(0,0,2)，∴点A到平面SND的距离为＝＝.7.解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(1,0,0)，B1(1,1,0)，E(，0,1)，F(1，，1)，D1(0,0,0)，M(0，，1)，N(，1,1). E，F，M，N分别是所在棱的中点，∴MN∥EF，A1E∥B1N.∴平面A1EF∥平面B1NMD1.∴平面A1EF与平面B1NMD1间的距离即为A1到平面B1NMD1的距离．设平面B1NMD1的法向量为n＝(x，y，z)， ＝(1,1,0)，＝(－，0,1)，∴n·＝0，且n·＝0.即(x，y，z)·(1,1,0)＝0，且(x，y，z)·(－，0,1)＝0.∴x＋y＝0，且－x＋z＝0，令x＝2，则y＝－2，z＝1.∴n＝(2，－2,1)，n0＝(，－，). ＝(0,1,0)，∴A1到平面B1NMD1的距离为d＝|·n0|＝(0,1,0)·(，－，)＝.答案：8.解：建立如图所示的空间直角坐标系，则由题意有A(0,0,0)，C(，1,0)，D(0,1,0)，P(0,0,2)，E(0，，1).所以＝(，1,0)，＝(0,0,2)．因为点N在侧面PAB内，故可设点N的坐标为(x,0，z)，则＝－(x，，1－z).由NE⊥平面PAC，可得·＝0，5·＝0，即化简，得z－1＝0，－x＋＝0.所以即点N的坐标为(，0,1)，从而点N到AB和AP的距离分别为1，.9.解法一：如图，连接A1B，交AB1于点M，连接DM，则DM⊥平面AA1B1B，所以A1B⊥DM.又·＝(－)·(＋)＝||2－||2＝0，∴A1B⊥AB1.∴A1B⊥平面AB1D...
