3.3空间向量运算的坐标表示[A组基础巩固]1．已知空间中两点A(1,1,1)，B(－1,0,4)，则向量AB的坐标为()A．(2,0，－3)B．(－2，－1,3)C．(0,1,5)D．(－2，－1,5)解析：AB＝(－1,0,4)－(1,1,1)＝(－2，－1,3)．答案：B2．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－4,2，x)，c＝(1，－x,2)，若(a＋b)⊥c，则x＝()A．4B．－4C.D．－6解析： a＋b＝(－2,1,3＋x)且(a＋b)⊥c，∴－2－x＋6＋2x＝0，∴x＝－4.答案：B3．与向量a＝(1,3，－2)平行的一个向量的坐标是()A.B.C.D．(，－3，－2)解析：对于B，＝－(1,3，－2)＝－a，故选B.答案：B4．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是()A．1B.C.D.解析：ka＋b＝(k－1，k,2)，2a－b＝(3,2，－2)，若(ka＋b)⊥(2a－b)，则3(k－1)＋2k－4＝0，解得k＝.答案：D5．若a＝(1，λ，－1)，b＝(2，－1,2)，且a与b的夹角的余弦值为，则|a|＝()A.B.C.D.解析：因为a·b＝1×2＋λ×(－1)＋(－1)×2＝－λ，又因为a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉＝××＝，所以＝－λ.解得λ2＝，所以|a|＝＝.答案：C6．已知向量a＝(－1,0,1)，b＝(1,2,3)，k∈R，若ka－b与b垂直，则k＝________.解析：因为(ka－b)⊥b，所以(ka－b)·b＝0，所以ka·b－|b|2＝0，所以k(－1×1＋0×2＋1×3)－()2＝0，解得k＝7.答案：77．若△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,0，)，B，C(－1,0，)，则角A的大小为__________．解析：AB＝，AC＝(－1,0,0)，则cosA＝cos〈AB，AC〉＝＝，故角A的大小为30°。1答案：30°8.如图，在三棱锥V－ABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶点A，B，V分别在x，y，z轴上，D是线段AB的中点，且AC＝BC＝2，当∠VDC＝60°时，异面直线AC与VD所成角的余弦值为__________．解析：由题意，知A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,0)，D(1,1,0)，当∠VDC＝60°时，在Rt△VCD中，CD＝，VC＝，VD＝2，∴V(0,0，)，∴AC＝(－2,0,0)，VD＝(1,1，－)，∴cos〈AC，VD〉＝＝－，∴异面直线AC与VD所成角的余弦值为.答案：9．已知a＝(－2,0，－5)，b＝(3,2，－1)，求下列各式的值：(1)a·a；(2)|b|；(3)(3a＋2b)·(a－b)．解析：(1)a·a＝a2＝(－2)2＋02＋(－5)2＝29.(2)|b|＝＝＝.(3)解法一3a＋2b＝3(－2,0，－5)＋2(3,2，－1)＝(0,4，－17)，a－b＝(－2,0，－5)－(3,2，－1)＝(－5，－2，－4)，所以(3a＋2b)·(a－b)＝(0,4，－17)·(－5，－2，－4)＝0×(－5)＋4×(－2)＋(－17)×(－4)＝60.解法二因为a·b＝(－2,0，－5)·(3,2，－1)＝(－2)×3＋0×2＋(－5)×(－1)＝－1，所以(3a＋2b)·(a－b)＝3a2－a·b－2b2＝3×29－(－1)－2×14＝60.10．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．(1)求分别以向量AB，AC为一组邻边的平行四边形的面积S；(2)若向量a与向量AB，AC均垂直，且|a|＝，求向量a的坐标．解析：(1) AB＝(－2，－1,3)，AC＝(1，－3,2)，∴|AB|＝＝，|AC|＝＝，∴cos∠BAC＝＝，∴∠BAC＝60°，∴S＝|AB||AC|sin60°＝7.(2)设a＝(x，y，z)，|a|＝⇒x2＋y2＋z2＝3，解得x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－1，∴a＝(1,1,1)或(－1，－1，－1)．[B组能力提升]1．已知向量a＝(1－t,2t－1,3)，b＝(2，t，t)，则|a－b|的最小值为()2A．2B.C.D．2解析：由题知a－b＝(－1－t，t－1,3－t)，则|a－b|＝＝.易知当t＝1时，|a－b|有最小值，为2，故选D.答案：D2.如图，在空间直角坐标系中有四棱锥PABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝2，E为PD的中点，则|BE|＝()A．2B.C.D．2解析：由题意可知B(2,0,0)，E(0,1,1)，则BE＝(－2,1,1)，|BE|＝.答案：C3．已知点A，B，C的坐标分别为(0,1,0)，(－1,0，－1)，(2,1,1)，点P的坐标为(x,0，z)，若PA⊥AB，PA⊥AC，则点P的坐标为__________．解析：由已知，得PA＝(－x,1，－z)，AB＝(－1，－1，－1)，AC＝(2,0,1)．又PA⊥AB，PA⊥AC，所以PA·AB＝x－1＋z＝0，PA·AC＝－2x＋0－z＝0，即，解得，所以点P的坐标为(－1,0，2)．答案：(－1,0,2)4．已知空间中三个向量a＝(1，－2，z)，b＝(x,2，－4)，c＝(－1，y,3)，若a∥b，b⊥c，则x＝________，y＝________，z＝________.解析： a∥b，∴a＝λb(λ∈R)．∴，∴.∴b＝(－...
