3.3.3函数的最大（小）值与导数[课时作业][A组基础巩固]1．函数f(x)＝xe－x，x∈[0,4]的最大值是()A．0B.C.D.解析：f′(x)＝′＝＝，当x∈[0,1)时，f′(x)>0，f(x)是增函数；当x∈(1,2]时，f′(x)<0，f(x)是减函数．∴f(x)的最大值为f(1)＝.答案：B2．已知函数f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为()A．－37B．－29C．－5D．－11解析： f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，由f′(x)＝0得x＝0或2. f(0)＝m，f(2)＝－8＋m，f(－2)＝－40＋m，显然f(0)>f(2)>f(－2)，∴m＝3，最小值为f(－2)＝－37.答案：A3．函数f(x)＝x3－3x(|x|<1)()A．有最大值，但无最小值B．有最大值，也有最小值C．无最大值，但有最小值D．既无最大值，也无最小值解析：f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当x∈(－1,1)时，f′(x)<0，所以f(x)在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值．答案：D4．已知函数f(x)＝ax3＋c，且f′(1)＝6，函数在[1,2]上的最大值为20，则c的值为()A．1B．4C．－1D．0解析： f′(x)＝3ax2，∴f′(1)＝3a＝6，∴a＝2.当x∈[1,2]时，f′(x)＝6x2>0，即f(x)在[1,2]上是增函数，∴f(x)max＝f(2)＝2×23＋c＝20，∴c＝4.答案：B5．函数f(x)＝－x3＋3x在区间(a2－12，a)上有最小值，则实数a的取值范围是()A．(－1，)B．(－1,2)C．(－1,2]D．(1,4)解析：f′(x)＝－3x2＋3，令f′(x)＝0，得x＝±1.x(－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)极小极大f(x)在R上的极小值f(－1)＝－2，极大值＝f(1)＝2.令－x3＋3x＝－2，即x3－3x－2＝0，(x＋1)2(x－2)＝0，∴x＝－1或x＝2.1 f(x)在区间(a2－12，a)上有最小值，∴a2－12＜－1＜a≤2，解得－1＜a≤2.答案：C6．函数y＝的最大值为________．解析：函数的定义域为x＞0.y′＝，令y′＝0得x＝e，当0＜x＜e时，f′(x)＞0，当x＞e时，f′(x)＜0，∴y最大＝＝.答案：7．当x∈[－1,1]时，函数f(x)＝的值域是________．解析：f′(x)＝＝＝.令f′(x)＝0得x＝0或x＝2(舍)，又f(0)＝0，f(－1)＝e，f(1)＝，故f(x)在(－1≤x≤1)的值域为[0，e]．答案：[0，e]8．设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意的x∈(0,1]都有f(x)≥0成立，则实数a的取值范围为________．解析：因为x∈(0,1]，f(x)≥0可化为a≥－.设g(x)＝－.则g′(x)＝.令g′(x)＝0，得x＝.当0
0；当0，得a>－.所以当a>－时，f(x)在上存在单调递增区间，即f(x)在上存在单调递增区间时，a的取值范围为.(2)令f′(x)＝0，得两根x1＝，x2＝，所以f′(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增．当00，f(x)单调递增；当12或a<－1.∴a的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．[B组能力提升]1．设函数fn(x)＝n2x2(1－x)n(n为正整数)，则fn(x)在[0,1]上的最大值为()A．0B．1C．1－D．4()n＋2解析：因为fn′(x)＝2xn2(1－x)n－n3x2(1－x)n－1＝n2x(1－x)n－1[2(1－x)－nx]，令fn′(x)＝0，得x1＝0，x2＝1，x3＝，易知fn(x)在x＝时取得最大值，最大值为fn()＝n2()2(1－)n＝4()n＋2.答案：D2．...
