第Ⅰ篇高考专题讲练思想篇角度一函数与方程思想函数思想是指用函数的观点、方法去分析问题、转化问题和解决问题.求数列中的项或最值、求不等式中的参量、求解析几何中距离或面积的最值等相关的非函数问题,往往都可利用函数思想转化为函数问题.方程思想是从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题中的条件转化为方程或方程组去分析问题和解决问题.如变量的取值范围、直线与圆锥曲线的位置关系、数列中的基本量、二项式系数等问题.示例解法关键[2018·全国卷Ⅲ]设a=log0.20.3,b=log20.3,则()A.a+b
0,b<0,且0<1a+1b=a+bab=log0.30.4<1,可得ab0,函数f(x)={x2+2ax+a,x≤0,-x2+2ax-2a,x>0.若关于x的方程f(x)=ax恰有2个互异的实数解,则a的取值范围是.就x的范围分段处理方程f(x)=ax,得到两个含有参数a的关于x的方程,通过方程根的情况得出a的取值范围.答案:(4,8)[2016·全国卷Ⅱ]函数f(x)=cos2x+6cosπ2-x的最大值为()A.4B.5C.6D.7先化简为关于sinx的表达式,再用二次函数的性质去解.答案:B[2016·全国卷Ⅲ]已知a=243,b=425,c=2513,则()A.b0)的焦点为F,过点F且倾斜角为π4的直线l与抛物线相交于A,B两点,若以线段AB为直径的圆过点(-p2,2),则该抛物线的方程为.角度二数形结合思想数形结合是根据数量与图形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法.数形结合思想体现了数与形之间的转化,它包含“以形助数”和“以数解形”两个方面.数形结合的实质是把抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来,即将代数问题几何化、几何问题代数化.数形结合思想常用来解决函数零点、方程根与不等式问题,参数范围问题,以立体几何为模型的代数问题,解析几何中的斜率、截距、距离等问题.示例解法关键[2018·全国卷Ⅰ]已知双曲线C:x23-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则|MN|=()A.32B.3C.2❑√3D.4不妨设∠OMF=90°,由渐近线方程及图形可知,|OM|=|OF|·cos30°,|MN|=|OM|·tan60°.答案:B[2018·全国卷Ⅰ]已知函数f(x)={ex,x≤0,lnx,x>0,g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是()A.[-1,0)B.[0,+∞)C.[-1,+∞)D.[1,+∞)g(x)有两个零点等价于f(x)的图像与直线y=-x-a有两个不同的交点,作图求解.答案:C[2017·全国卷Ⅱ]已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则⃗PA·(⃗PB+⃗PC)的最小值是()A.-2B.-32C.-43D.-1建立平面直角坐标系,将各点、各向量用坐标表示出来,再求最小值.答案:B[2017·全国卷Ⅲ]设函数f(x)={x+1,x≤0,2x,x>0,则满足f(x)+f(x-12)>1的x的取值范围是.先写出函数f(x-12),考查不等式fx-12>1-f(x),画出y=fx-12与y=1-f(x)的图像,由图像得解集.答案:(-14,+∞)测题1.在平行四边形ABCD中,AB=2,AD=1,⃗AB·⃗AD=-1,点M在边CD上,则⃗MA·⃗MB的最大值为()A.2B.2❑√2-1C.5D.❑√3-12.已知正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,则异面直线AB1与CA1所成的角的余弦值为()A.0B.-14C.14D.123.不等式组{x≥0,x+3y≥4,3x+y≤4所表示的平面区域为D.若直线y=a(x+1)与D有公共点,则实数a的取值范围是.4.已知函数f(x)={-x2-2x,x≤m,x-4,x>m,如果函数f(x)恰有两个零点,那么实数m的取值范围为.角度三分类讨论思想分类讨论思想就是将一个复杂的数学问题分解成若干个简单的基础问题,通过对基础问题的解答解决原问题的思维策略,实质上就是“化整为零,各个...
