第3章导数及其应用滚动训练(五)一、填空题1.函数f(x)＝ex－x的单调递增区间是________.考点导数在函数中的运用题点求函数单调区间答案(0，＋∞)解析 f(x)＝ex－x，∴f′(x)＝ex－1，由f′(x)>0，得ex－1>0，即x>0.2.函数f(x)＝＋x2－3x－4在[0,2]上的最小值是______.考点导数在函数中的运用题点求函数最小值答案－解析f′(x)＝x2＋2x－3，令f′(x)＝0，x∈[0,2]，得x＝1.比较f(0)＝－4，f(1)＝－，f(2)＝－，可知最小值为－.3.椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，若椭圆C的离心率等于，且它的一个顶点恰好是抛物线x2＝8y的焦点，则椭圆C的标准方程为__________________.考点椭圆的几何性质题点求椭圆的方程答案＋＝1解析设＝，∴＝，∴1－2＝，∴2＝，∴＝，∴a＝4.∴＋＝1.4.已知双曲线－＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，其一条渐近线方程为y＝x，点P(，y0)在该双曲线上，则PF1·PF2＝________.考点双曲线的几何性质题点双曲线的几何性质的应用答案0解析 y＝x为渐近线方程，则b＝2，即双曲线方程为x2－y2＝2.当x＝时，y＝1.又双曲线的半焦距为2，∴F1(－2,0)，F2(2,0)，1∴PF1·PF2＝(－2－，－y0)·(2－，－y0)＝－1＋y＝－1＋1＝0.5.若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调增函数，则m的取值范围为________.考点导数在函数中的运用题点由函数单调性求参数范围答案解析 f(x)＝x3＋x2＋mx＋1，∴f′(x)＝3x2＋2x＋m.又 f(x)在R上是单调增函数，∴Δ＝4－12m≤0，即m≥.6.给出下列三个命题：①“a＞b”是“3a＞3b”的充分不必要条件；②“α＞β”是“cosα＜cosβ”的必要不充分条件；③“a＝0”是“函数f(x)＝x3＋ax2(x∈R)为奇函数”的充要条件.其中正确命题的序号为________.考点充分条件、必要条件、充要条件的判断题点充分条件、必要条件、充要条件的判断答案③解析 函数y＝3x为单调增函数，∴“a＞b”是“3a＞3b”的充要条件，故①错误； y＝cosx是周期函数，故②错误；当a＝0时，f(x)＝x3＋ax2＝x3是奇函数，反之，当f(x)＝x3＋ax2(x∈R)为奇函数时，由f(x)＋f(－x)＝0，得a＝0，故③正确.7.椭圆ax2＋by2＝1与直线y＝1－x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则＝________.考点直线与椭圆题点求椭圆中的参数答案解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则ax＋by＝1，ax＋by＝1，即ax－ax＝－(by－by)，＝－1，＝－1，∴×(－1)×＝－1，∴＝.8.从边长为10cm×16cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为________cm3.考点导数在函数中的运用题点导数的实际应用答案144解析设盒子容积为ycm3，盒子的高为xcm.则y＝(10－2x)(16－2x)x＝4x3－52x2＋160x(00，且f(1)＝1，则不等式f(x)>的解是________.考点导数在函数中的运用题点函数单调性解不等式答案(1，＋∞)解析令g(x)＝exf(x)，则g′(x)＝exf(x)＋exf′(x)>0，所以函数g(x)是R上的增函数，又不等式f(x)>等价于exf(x)>e＝e1f(1)，即g(x)>g(1)，从而有x>1，所以不等式f(x)>的解集为(1，＋∞).10.曲线y＝－(x<0)与曲线y＝lnx公切线(切线相同)的条数为________.考点导数的几何意义题点函数图象切线问题答案1解析设公切线l与曲线y＝－切于点A(x1<0)，与曲线y＝lnx切于点B(x2，lnx2)，因为′＝，(lnx)′＝，所以曲线y＝－在点A处的切线为y＋＝(x－x1)，即y＝－；曲线y＝lnx在点B处的切线为y－lnx2＝(x－x2)，即y＝－1＋lnx2，从而有(*)消去x1，得lnx2－1－＝0，令f(x)＝lnx－1－，则f′(x)＝＋＝>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增，由于f(1)＝－3<0，f(e2)＝1－>0，所以f(x)在(0，＋∞)上有唯一解，即方程lnx2－1－＝0有唯一解，从而方程组(*)有唯一解，故两条曲线公切线的条数为1.二、解答题11.已知函数f(x)＝(x－k)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值.考点导数在函数中的运用题点函数单调性和最值问题解(1)f′(x)＝(x－k＋1)ex.令f′(x)＝0，得x＝k－1.3当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：4x...
