初中数学圆与抛物线抛物线与圆相结合的题型是中考综合题中的一种常见的类型，为了帮助同学们了解这类问题的思考方法，下面举一例加以分析。例.（2007年山东省烟台市中考试题）如下图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，点A坐标为（4，0），点B坐标为（-1，0），以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P与y轴的正半轴交于点C。（1）求经过A、B、C三点的抛物线对应的函数表达式；（2）设M为（1）中抛物线的顶点，求直线MC对应的函数表达式；（3）试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论。分析：（1）利用勾股定理求出OC，从而得到点C的坐标，然后将A、B、C三点坐标代入即可；（2）利用配方法求出抛物线的顶点，进而求出一次函数的表达式；（3）只需判断PC是否与MN垂直即可。解：（1）连接PC，因为A（4，0）、B（-1，0），所以AB=5，因为P是AB的中点，且是⊙P的圆心，所以PC=PA=PB=，OP=。所以OC=，即C（0，2）。设经过A、B、C三点的抛物线为，所以。解得。所以经过A、B、C三点的抛物线为，即。（2）将配方，得，所以顶点。设直线MC为，则有解得所以直线为。（3）直线MC与⊙P相切，证明：设MC与x轴交于点N，在中，令，得。所以ON=，，。所以。所以∠PCN=。所以直线MC与⊙P相切。说明：本题蕴涵着数形结合、转化等重要的数学思想，充分考查了同学们综合运用所学知识的能力，以及灵活运用数学思想和数学方法的能力。
