天津市红桥区2016-2017学年高二数学上学期期中试题理（扫描版）高二数学（理）（2016、11）一、选择题题号12345678答案CBCCBDCA二、填空题9．若一个四边形不是平行四边形(，则这个四边形两组对边不相等(10)1(11)m或m∥(12)(13)(5,13，－3)三、解答题14（本小题满分12分）如图：棱长为的正方体中，点分别是棱的中点，（I）过作一平面，使其与平面平行（只写作法，不需证明）;（II）求直线与平面所成角的正弦值.解：(I)连结AC、MC，平面AMC是所求平面--------------------------3分(II)如图空间执教坐标系Oxyz则A(0,0,0)，M(a,0,a)，B(a,0,0)，D(0,a,0)，N(0,a,a)------------------------5分（不全对，但对2个以上给1分）BM=(a,0,a)，BD=(a,a,0)，AM=(a,0,a)-------7分（不全对，但对2个给1分）设平面得法向量n=(x,y,z)则n=(2,2,1)-------------------------9分cos
==-----------------11分设直线与平面所成角为则，sin=|cos|=直线与平面所成角的正弦值为-----------------12分CDD1C1ABA1B1MNEOxyzzyx15（本小题满分12分）如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝，AB＝1，AD＝2，E为BC的中点，点M为棱AA1的中点．（I）证明：DE⊥平面A1AE；（II）证明：BM∥平面A1ED.证明：方法一：（I）在△AED中，AE＝DE＝，AD＝2，∴AE⊥DE.-------------------------2分∵A1A⊥平面ABCD，∴A1A⊥DE，--------------------3分,平面A1AE.,平面A1AE.∴DE⊥平面A1AE.-------------6分（II）设AD的中点为N，连结MN、BN.在△A1AD中，AM＝MA1，AN＝ND，∴MN∥A1D，------------8分∵BE∥ND且BE＝ND，∴四边形BEDN是平行四边形，∴BN∥ED，------------------------------------------------------------10分∴平面BMN∥平面A1ED，∴BM∥平面A1ED.-----------------------------------------------------12分方法二：建系如图所示（I）A(0，0，0),B(1，0，0),C(1，2，0),D(0，2，0)A1(0,0,),B1(1,0,),C1(1,2,),D1(0,2,)E(1,1,0),-,，------------------2分设平面A1AE的法向量为则即则一个------4分故所以DE⊥平面A1AE.-------------6分（II）,-----------------8分设平面A1ED的法向量为则即则一个----10分0故BM∥平面A1ED.-----------------------12分16（本小题满分12分）如图，正三棱柱的所有棱长都为2，为中点，试用空间向量知识解下列问题：（1）求证：平面面；（2）求二面角的正弦值。解：取BC中点O，连AO，∵为正三角形，∴，∵在正三棱柱中，平面ABC平面,∴平面，取中点为,以O为原点，,,的方向为，轴的正方向，建立空间直角坐标系，则.∴,∵,。∴，,∴面。…………5分面所以平面面------------------------------6分（2）设平面的法向量为,。，∴，∴，，令，得为平面的一个法向量，-------------8分由（1）知面，∴为平面的法向量，，------------------11分),∴二面角的正弦值为=。…………12分17（本小题满分12分）三棱锥中．已知，，为中点．（I）求证：平面；（II）求异面直线与所成角的余弦值．证明：（Ⅰ）因为，的中点，连接，易得：，……………………………2分FEOCBAP,.……………………………4分.……………5分又平面…………………………7分注意：该步骤要求学生的表达严谨规范，对于几个垂直的证明，如果没有过程，相应步骤得分为0分，而利用结论的后续证明只要正确，可以相应步骤得分（Ⅱ）分别取中点,连接,则,,故，为异面直线与所成角（或补角）----------------------------9分由（Ⅰ）知在直角三角形中，,又,,---------------------------10分在等腰三角形中，.所以，异面直线与所成角的余弦值为．----12分
