如何避免“分类讨论”浙江省绍兴县鉴湖中学周张海“分类讨论”是一种重要的数学思想，许多问题都离不开分类讨论。但有些问题若能认真审题，深刻反思，克服思维定势，变换思维角度，往往可以避免分类讨论，使问题的解决更为简捷。现采撷几例，供参考。一、运用最值思想，避免分类讨论例1：奇函数是R上的减函数，若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围。解：，且是R上的奇函数，减函数，得到（1），可得，问题转化为只要k小于的最小值即可。令，因为在（0，）上是减函数，故当时，显然有，即∴k的取值范围为（-∞，2）点评：按照常规思路，由（1）式转化为在上恒成立问题，可令，然后根据二次函数性质及对称轴位置的变化，进行分类讨论，得到：或或解得或或，从而求得k的取值范围为（-∞，2）。这样解就显得比较烦琐，因为有些不等式在区间上的“恒成立”问题，一般通过分离变量，转化为函数的最值问题求解。就可以避免分类讨论，使得解题过程简明快捷，少走弯路。二、妙用换底公式，避免分类讨论例2：设，且，比较与的大小。分析：本例通常应分与两种情况讨论，但运用换底公式消去a，就可避免分类讨论，从而达到简化解题过程的目的。解：运用作商比较法，，，三、变换主元地位，避免分类讨论例3：设不等式对于满足的一切m的值都成立，求m的取值范围。分析：本例为含参数的不等式，关键是对参数的处理，从表面上看，是一个关于x的一元二次不等式，实质上是一个关于m的一元一次不等式，并且已知它的解集为［-2，2］，求参数的范围。因此通过参数m与未知数x的地位的变化，借助于一次函数图象，避免了繁杂的对参数的讨论。解：设，它是以m为自变量的一次函数，其图象为直线，由题意知，这条直线当时，线段在y轴的下方，满足它的为即四、借助函数性质，避免分类讨论例4：设定义在［-2，2］上的偶函数在区间［0，2］上单调递减，若，求实数m的取值范围。分析：由函数的定义域知，但是与m到底是在［-2，0］、［0，2］的哪个区域内，不十分清楚，若就此讨论，将十分复杂，如果注意到性质“如果是偶函数，那么”，问题解答就简捷多了。解：是偶函数，，又当时，单调递减，，解得点评：本题应用了偶函数的一个简单性质，从而避免了一场“大规模”的讨论，将“曲径”变“通途”。值得深思。
