中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2010年全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．若2010abbc，，则abbc的值为（）．（A）1121（B）2111（C）11021（D）21011解：D由题设得12012101111110aabbcbcb．2．若实数a，b满足21202aabb，则a的取值范围是（）．（A）a≤2（B）a≥4（C）a≤2或a≥4（D）2≤a≤4解．C因为b是实数，所以关于b的一元二次方程21202baba的判别式21()41(2)2aa＝≥0,解得a≤2或a≥4．3．如图，在四边形ABCD中，∠B＝135°，∠C＝120°，AB=23，BC=422，CD＝42，则AD边的长为（）．（A）26（B）64（C）64（D）622解：D如图，过点A，D分别作AE，DF垂直于直线BC，垂足分别为E，F．由已知可得（第3题）BE=AE=6，CF＝22，DF＝26，于是EF＝4＋6．过点A作AG⊥DF，垂足为G．在Rt△ADG中，根据勾股定理得AD222(46)(6)(224)＝226．4．在一列数123xxx，，，……中，已知11x，且当k≥2时，1121444kkkkxx（取整符号a表示不超过实数a的最大整数，例如2.62，0.20），则2010x等于（）．(A)1(B)2(C)3(D)4解：B由11x和1121444kkkkxx可得11x，22x，33x，44x，51x，62x，73x，84x，……因为2010=4×502+2，所以2010x=2．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，－1），C（－2，－1），D（－1，1）．y轴上一点P（0，2）绕点A旋转180°得点P1，点P1绕点B旋转180°得点P2，点P2绕点C旋转180°得点P3，点P3绕点D旋转180°得点P4，……，重复操作依次得到点P1，P2，…，则点P2010的坐标是（）．（A）（2010，2）（B）（2010，2）（第3题）（第5题）（C）（2012，2）（D）（0，2）解：B由已知可以得到，点1P，2P的坐标分别为（2，0），（2，2）．记222)Pab（，，其中222,2ab．根据对称关系，依次可以求得：322(42)Pab，－－，422(2)Pab，4，522(2)Pab，，622(4)Pab，．令662(,)Pab，同样可以求得，点10P的坐标为（624,ab），即10P（2242,ab），由于2010=4502+2，所以点2010P的坐标为（2010，2）．二、填空题6．已知a＝5－1，则2a3＋7a2－2a－12的值等于．解：0由已知得(a＋1)2＝5，所以a2＋2a＝4，于是2a3＋7a2－2a－12＝2a3＋4a2＋3a2－2a－12＝3a2＋6a－12＝0．7．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶．在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间．过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车；再过t分钟，货车追上了客车，则t＝．解：15设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为S千米，小轿车、货车、客车的速度分别为abc，，（千米/分），并设货车经x分钟追上客车，由题意得10abS，①152acS，②xbcS．③由①②，得30bcS（），所以，x=30．故3010515t（分）．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是．解：11133yx+如图，延长BC交x轴于点F；连接OB，AF；连接CE，DF，且相交于点N．由已知得点M（2，3）是OB，AF的中点，即点M为矩形ABFO的中心，所以直线l把矩形ABFO分成面积相等的两部分．又因为点N（5，2）是矩形CDEF的中心，所以，过点N（5，2）的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分．于是，直线MN即为所求的直线l．设直线l的函数表达式为ykxb，则2352kbkb+，，解得1311.3kb，,故所求直线l的函数表达式为11133yx+．9．如图，射线AM，BN都垂直于线段AB，点E为AM上一点，过点A作BE的...
