集合论的诞生与发展集合论作为数学中最富创造性的伟大成果之一，是在19世纪末由德国的康托尔（1845－1918）创立起来的。但是，它萌发、孕育的历史却源远流长，至少可以追溯到两千多年前。（一）早期研究集合论是关于无穷集合和超穷数的数学理论。集合作为数学中最原始的概念之一，通常是指按照某种特征或规律结合起来的事物的总体。例如美国国会图书馆的全部藏书，自然数的全体以及直线上所有点的总体等等。集合论的全部历史都是围绕无穷集合而展开的。早在集合论创立之前两千多年，数学家和哲学家们就已经接触到了大量有关无穷的问题，古希腊的学者最先注意并考察了它们。公元前5世纪，埃利亚学派的芝诺（约公元前490－前430），一共提出45个悖论，其中关于运动的四个悖论：二分法悖论、阿基里斯追龟悖论、飞矢不动悖论与运动场悖论尤为著名，前三个悖论都与无穷直接有关。芝诺在悖论中虽然没有明确使用无穷集合的概念，但问题的实质却与无穷集合有关。在数理哲学中，有两种无穷方式历来为数学家和哲学家所关注，一种是无穷过程，称为潜在无穷，一种是无穷整体，称为实在无穷。希腊哲学家亚里士多德（前384－前322）最先提出要把潜在的无穷和实在的无穷加以区别，这种思想在当今仍有重要意义。他认为只存在潜在无穷，如地球的年龄是潜在无穷，但任意时刻都不是实在无穷。他承认正整数是潜在无穷的，因为任何正整数加上1总能得到一个新数。对他来说，无穷集合是不存在的。哲学权威亚里士多德把无穷限于潜在无穷之内，如同下了一道禁令，谁敢冒天下之大不韪，以至于影响对无穷集合的研究达两千多年之久。公元5世纪，拜占庭的普罗克拉斯（410－485）是欧几里德《几何原本》的著名评述者。他在研究直径分圆问题时，注意到圆的一根直径分圆成两个半圆，由于直径有无穷多，所以必须有两倍无穷多的半圆。为了解释这个在许多人看来是一个矛盾的问题，他指出：任何人只能说有很大很大数目的直径或者半圆，而不能说一个实实在在无穷多的直径或者半圆，也就是说，无穷只能是一种观念，而不是一个数，不能参与运算。其实，他这里是接受了亚里士多德的潜无穷的概念，而否认实无穷的概念，对这种对应关系采用了回避的态度。到了中世纪，随着无穷集合的不断出现，部分能够同整体构成一一对应这个事实也就越来越明显地暴露出来。例如，数学家们注意到把两个同心圆上的点用公共半径联结起来，就构成两个圆上的点之间的一一对应关系。近代科学的开拓者伽利略（1564－1642）注意到：两个不等长的线段上的点可以构成一一对应他又注意到：正整数与它们的平方可以构成一一对应这说明无穷大有不同的“数量级”，不过伽利略认为这是不可能的。他说，所有无穷大量都一样，不能比较大小。（二）奠定基础到了十七世纪，数学家把无穷小量引进数学，构成所谓“无穷小演算”，这就是微积分的最早名称。所谓积分法无非是无穷多个无穷小量加在一起，而微分法则是两个无穷小量相除。由于无穷小量运算的引进，无穷大模大样地进入数学，虽然它给数学带来前所未有的繁荣和进步，它的基础及其合法性仍然受到许多数学家的质疑，他们对无穷仍然心存疑虑，这方面以“数学家之王”高斯（1777—1855）的意见为代表。高斯是一个潜在无穷论者，他在1831年7月12日给他的朋友舒马赫尔的信中说“我必须最最强烈地反对你把无穷作为一完成的东西来使用，因为这在数学中是从来不允许的。无穷只不过是一种谈话方式，它是指一种极限，某些比值可以任意地逼近它，而另一些则容许没有限制地增加。”这里极限概念只不过是一种潜在的无穷过程。这里高斯反对那些哪怕是偶尔用一些无穷的概念，甚至是无穷的记号的人，特别是当他们把它当成是普通数一样来考虑时。法国大数学家柯西（1789－1857）也同他的前人一样，不承认无穷集合的存在。他认为部分同整体构成一一对应是自相矛盾的事。科学家们接触到无穷，却又无力去把握和认识它，这的确是向人类提出的尖锐挑战。正如大卫•希尔伯特（1862－1943）在他的1926年《论无穷》的讲演中所说的那样：“没有任何问题象无穷那样深深地触动人的情感，很少别的观念能象无穷那样激励理智产生富有成果的思...
