初高中衔接之一元二次不等式的解法VIP免费

第六讲一元二次不等式的解法基础知识点知识点具体内容一元二次方程的根方程的求根公式）一元二次方程的判别式的判别式是.当时，方程有两个不相等的实根；当时，方程有两个相等的实根；当时，方程没有实根。一元二次方程根与系数的关系设一元二次方程的两根为和，那么二次函数的图象①二次函数(其中a,b,c是常数，a≠0)的图象是抛物线，其顶点坐标是对称轴是直线.②用描点法画函数(其中a,b,c是常数，a≠0)的图象步骤是：配方法配成的形式确定图象开口方向、对称轴和顶点坐标在对称轴两侧，利用对称性描点画图.二次函数的图象二次函数(其中a,b,c是常数，a≠0)中，当时，开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小；当，.当时，开口向下，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；当，.基础题训练已知二次函数，则当_______________时,y>0,则当1_______________时,y<0.例题讲评例1解不等式：（1）x2＋2x－3≤0；（2）x－x2＋6＜0；（3）4x2＋4x＋1≥0；（4）x2－6x＋9≤0；（5）－4＋x－x2＜0．解：（1） Δ＞0，方程x2＋2x－3＝0的解是x1＝－3，x2＝1．∴不等式的解为－3≤x≤1．（2）整理，得x2－x－6＞0． Δ＞0，方程x2－x－6=0的解为x1＝－2，x2＝3．∴所以，原不等式的解为x＜－2，或x＞3．（3）整理，得(2x＋1)2≥0.由于上式对任意实数x都成立，∴原不等式的解为一切实数．（4）整理，得(x－3)2≤0.由于当x＝3时，(x－3)2＝0成立；而对任意的实数x，(x－3)2＜0都不成立，∴原不等式的解为x＝3．（5）整理，得x2－x＋4＞0．Δ＜0，所以，原不等式的解为一切实数．例2、已知不等式的解是求不等式的解．解：由不等式的解为，可知，且方程的两根分别为2和3，∴，即．由于，所以不等式可变为，即－整理，得所以，不等式的解是x＜－1，或x＞．说明：本例利用了方程与不等式之间的相互关系来解决问题．链接高中一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)，设△＝b2－4ac，它的解的情形按照△＞0，△=0，△＜0分别为下列三种情况——有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解，相应地，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点(如图2.3－2所示)，2因此，我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（a＞0）与ax2＋bx＋c＜0（a＞0）的解．（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴有两个公共点(x1，0)和(x2，0)，方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根x1和x2(x1＜x2)，由图2.3－2①可知不等式ax2＋bx＋c＞0的解为x＜x1，或x＞x2；不等式ax2＋bx＋c＜0的解为x1＜x＜x2．（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴有且仅有一个公共点，方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根x1＝x2＝－，由图2.3－2②可知不等式ax2＋bx＋c＞0的解为x≠－；不等式ax2＋bx＋c＜0无解．（3）如果△＜0，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴没有公共点，方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，由图2.3－2③可知不等式ax2＋bx＋c＞0的解为一切实数；不等式ax2＋bx＋c＜0无解．今后，我们在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；如果二次项系数小于零，则可以先在不等式两边同乘以－1，将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上面的结论去解不等式．例2.解关于的一元二次不等式为实数).分析对于一元二次不等式,按其一般解题步骤,首先应该将二次项系数变成正数,本题已满足这一要求,欲求一元二次不等式的解,要讨论根的判别式的符号,而这里的是关于未知系数的代数式,的符号取决于未知系数的取值范围，因此,再根据解题的需要,对的符号进行分类讨论.解:,①当所以,原不等式的解集为或；②当Δ＝0，即a＝±2时，原不等式的解为x≠－；③当为一切实数.综上,当a≤－2，或a≥2时，原不等式的解是或；当为一切实数．3（1）xyOx1x2xyOx1=x2yxO图2.3－2②③①例3、已知函数y＝x2－2ax＋1(a为常数)在－2≤x≤1上的最小值为n，试将n用a表示出来．分析：由该函数的图象可知，该函数的最小值与抛物线的对称轴的位置有关，于是需要对对称轴的位置进行...