工具工具栏目导引栏目导引大二轮专题复习与测试·数学文科第一部分专题一第6课时高考中的函数与导数解答题工具工具栏目导引栏目导引大二轮专题复习与测试·数学文科第一部分专题一函数与导数是高中数学的核心内容，函数思想贯穿中学数学全过程．导数作为工具，提供了研究函数性质的一般性方法．作为“平台”，可以把函数、方程、不等式、圆锥曲线等有机地联系在一起，在能力立意的命题思想指导下，与导数相关的问题已成为高考数学命题的必考点之一．在高考试卷中，函数与导数的解答题，往往处于压轴的位置．工具工具栏目导引栏目导引大二轮专题复习与测试·数学文科第一部分专题一利用导数证明不等式(2013·天津卷)已知函数f(x)＝x2lnx.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)证明：对任意的t＞0，存在唯一的s，使t＝f(s)；工具工具栏目导引栏目导引大二轮专题复习与测试·数学文科第一部分专题一解析：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝2xlnx＋x＝x(2lnx＋1)，令f′(x)＝0，得x＝1e.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x0，1e1e1e，＋∞f′(x)－0＋f(x)极小值所以函数f(x)的单调递减区间是0，1e，单调递增区间是1e，＋∞.工具工具栏目导引栏目导引大二轮专题复习与测试·数学文科第一部分专题一(2)证明：当0＜x≤1时，f(x)≤0.设t＞0，令h(x)＝f(x)－t，x∈[1，＋∞)．由(1)知，h(x)在区间(1，＋∞)内单调递增．h(1)＝－t＜0，h(et)＝e2tlnet－t＝t(e2t－1)＞0.故存在唯一的s∈(1，＋∞)，使得t＝f(s)成立．工具工具栏目导引栏目导引大二轮专题复习与测试·数学文科第一部分专题一利用导数证明与分式、指数式、对数式、函数等相关的不等式的步骤第一步：根据待证不等式的结构特征，定义域以及不等式的性质，将待证不等式化为简单的不等式；第二步：构造函数；第三步：利用导数研究该函数的单调性或最值；第四步：根据单调性或极值得到待证不等式．工具工具栏目导引栏目导引大二轮专题复习与测试·数学文科第一部分专题一1．(2012·山东卷)已知函数f(x)＝lnx＋kex(k为常数，e＝2.71828…是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．(1)求k的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)设g(x)＝(x2＋x)f′(x)，其中f′(x)为f(x)的导函数，证明：对任意x>0，g(x)<1＋e－2.工具工具栏目导引栏目导引大二轮专题复习与测试·数学文科第一部分专题一解析：(1)由f(x)＝lnx＋kex，得f′(x)＝1－kx－xlnxxex，x∈(0，＋∞)．由于曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线与x轴平行，所以f′(1)＝0，因此k＝1.工具工具栏目导引栏目导引大二轮专题复习与测试·数学文科第一部分专题一(2)由(1)得f′(x)＝1xex(1－x－xlnx)，x∈(0，＋∞)．令h(x)＝1－x－xlnx，x∈(0，＋∞)，当x∈(0,1)时，h(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0，又ex>0，所以当x∈(0,1)时，f′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0.因此f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．工具工具栏目导引栏目导引大二轮专题复习与测试·数学文科第一部分专题一(3)证明：因为g(x)＝(x2＋x)f′(x)，所以g(x)＝x＋1ex(1－x－xlnx)，x∈(0，＋∞)．因此，对任意x>0，g(x)<1＋e－2等价于1－x－xlnx0，φ(x)单调递增，φ(x)>φ(0)＝0，工具工具栏目导引栏目导引大二轮专题复习与测试·数学文科第一部分专题一故当x∈(0，＋∞)时，φ(x)＝ex－(x＋1)>0，即exx＋1>1.所以1－x－xlnx≤1＋e－20，g(x)<1＋e－2.工具工具栏目导引栏目导引大二轮专题复习与测试·数学文科第一部分专题一(201...
