1/5中山二中高一下学期平面向量综合复习结论１在ABC中ACBCAB（加）或BCABAC（减）称ABC为向量三角形；推广可有013221AAAAAAn，称121AAAAn为封闭折线．如：①在平行四边形ABCD中,已知aAB,bAD,DODM31,OCON31,试用ba,表示MN.②如图，在ABC△中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点MN，，若ABmAM，ACnAN，则mn的值为．2.向量共线的条件：结论2（平行向量基本定理）向量a与)0(b平行（即共线）的充要条件是存在唯一实数使ba．特别地，三点CBA、、共线ACAB．3.轴上向量的坐标及其运算：已知轴l，取单位向量e，对于轴l上任意向量a总是存在唯一实数x使得axe，我们称x为向量a在轴l上的坐标（或数量）.设e是轴l的一个基向量，向量AB的坐标为AB，则ABABe；若轴l为x轴，可设点A、B的坐标分别为x1，x2，则向量AB的坐标AB=21xx.4.向量的分解：结论3（平面向量基本定理）设b,a是平面上两个不共线向量（称为一组基底），则对平面上任一向量c，存在唯一实数,使bac．这里称为向量c关于基底的分解式.特别地若1，则有①CBACtOBttOAtOC111称为定比分点向量式，也称为直线AB的向量参数方程式；②OBOAOC21称为中点向量式（C为AB中点）．上述结论提供了证明诸线共点与诸点共线的方法，如：①证明三角形的三条中线交于一点，且这点把三条中线都分成2∶1的两条线段.②求证ABC三条高CFBEAD、、相交于一点．5.平面向量的坐标运算：对于结论3，若{,}ab是一组单位正交基底，则称(,)是向量c在基底{,}ab下的坐标，记作(,)c.（在平面直角坐标系下）用坐标表示下列结论：设1212(,),(,)aaabbb，则有：ab；ab；a；(0)abba；6.向量的数量积：结论4两个向量的数量积为cosbaba，其中b,a为两个向量的夹角，其范围为．数量积有如下性质：①cosbaeaebb为方向的单位向量；是点到直线（甚至到平面）距离公式推导的根据；②夹角公式cosabab；（坐标形式）③22aaaa即aaa（用于求模）；④0abab；（坐标形式）⑤.abab（某些不等式放缩证明的根据）数量积的运算律：（1）交换律：；（2）数乘律：；（3）分配律：.（请给出证明）注意：不满足消去律：acbc推不出结论ab，举例：.如：①已知平面上直线l的方向向量e=(-53,54)，点O(0,0)和点A(1,-2)在l上的射影分别为'O和'A，且''AOλe，其中λ=（）A．511B．-511C．2D．-2②模公式22aaaa的应用举例：（1）求证:)|||(|2||||2222bababa，其几何意义是.（2）若3||||||baba,则ba（3）已知2||a,3||b,7||ba,则a与b的夹角为（4）已知cba,,中每两个向量夹角都为120且4||a,6||b,2||c,求||cba值.7.直线:0lAxByC的方向向量v，法向量u，若再已知定点00(,)Pxy，而且点(,)Mxyl，0n是单位法向量，则点P到直线l的距离公式为：.（向量形式）2/58.结论５：bababa，称为向量三角形不等式．（三）三角形的“四心”与向量1.关于重心G，有重心公式：1()3OGOAOBOC坐标)3,3(CBACBAyyyxxxG，并有性质0GCGBGA；2.关于垂心H，有性质HAHCHCHBHBHA；3.关于外心O，有性质||||||OCOBOA；结论：O、H、G三点共线且OGOH3；此线称为欧拉（Euler）线.（如何证明？）4.关于内心I，经常涉及内角平分线的研究，如)||||(ACACABABAI.如：①已知O，N，P在ABC所在平面内，且,0OAOBOCNANBNC，且PAPBPBPCPCPA，则点O，N，P依次是ABC的（A）重心外心垂心（B）重心外心内心（C）外心重心垂心（D）外心重心内心②在四边形ABCD中，AB=DC=（1，1），113BABCBDBABCBD，则四边形ABCD的面积是③设斜ABC△的外接圆圆心为O，两条边上的高的交点为H，)(OCOBOAmOH，则实数m=.④O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足ABACOPOAABAC，0,，则P的轨迹一定通过ABC的（）A、外心B、内心C、重心D、垂心（四）向量与解析几何在解析几何中，熟练掌握下列结论，有助于更好地运用向量：（1）A、B、C三点共线等价于存在实数，使得OCOAOB（1）；（2）ABC的重心G的坐标公式为13OGOAOBOC．（3）直线的方向向量是什么？给定两点：111222,,,PxyPxy，那么122121,PPxxyy，这也就是方向向量，横坐标单位化，得：1,tan，也就是说：直线0AxByC的方向向量是,BA，直线的法向量是,AB．例如：已知O为坐标原点，点FE、的坐标分别为)0,1(...
