1/5中山二中高一下学期平面向量综合复习结论1在ABC中ACBCAB(加)或BCABAC(减)称ABC为向量三角形;推广可有013221AAAAAAn,称121AAAAn为封闭折线.如:①在平行四边形ABCD中,已知aAB,bAD,DODM31,OCON31,试用ba,表示MN.②如图,在ABC△中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点MN,,若ABmAM,ACnAN,则mn的值为.2.向量共线的条件:结论2(平行向量基本定理)向量a与)0(b平行(即共线)的充要条件是存在唯一实数使ba.特别地,三点CBA、、共线ACAB.3.轴上向量的坐标及其运算:已知轴l,取单位向量e,对于轴l上任意向量a总是存在唯一实数x使得axe,我们称x为向量a在轴l上的坐标(或数量).设e是轴l的一个基向量,向量AB的坐标为AB,则ABABe;若轴l为x轴,可设点A、B的坐标分别为x1,x2,则向量AB的坐标AB=21xx.4.向量的分解:结论3(平面向量基本定理)设b,a是平面上两个不共线向量(称为一组基底),则对平面上任一向量c,存在唯一实数,使bac.这里称为向量c关于基底的分解式.特别地若1,则有①CBACtOBttOAtOC111称为定比分点向量式,也称为直线AB的向量参数方程式;②OBOAOC21称为中点向量式(C为AB中点).上述结论提供了证明诸线共点与诸点共线的方法,如:①证明三角形的三条中线交于一点,且这点把三条中线都分成2∶1的两条线段.②求证ABC三条高CFBEAD、、相交于一点.5.平面向量的坐标运算:对于结论3,若{,}ab是一组单位正交基底,则称(,)是向量c在基底{,}ab下的坐标,记作(,)c.(在平面直角坐标系下)用坐标表示下列结论:设1212(,),(,)aaabbb,则有:ab;ab;a;(0)abba;6.向量的数量积:结论4两个向量的数量积为cosbaba,其中b,a为两个向量的夹角,其范围为.数量积有如下性质:①cosbaeaebb为方向的单位向量;是点到直线(甚至到平面)距离公式推导的根据;②夹角公式cosabab;(坐标形式)③22aaaa即aaa(用于求模);④0abab;(坐标形式)⑤.abab(某些不等式放缩证明的根据)数量积的运算律:(1)交换律:;(2)数乘律:;(3)分配律:.(请给出证明)注意:不满足消去律:acbc推不出结论ab,举例:.如:①已知平面上直线l的方向向量e=(-53,54),点O(0,0)和点A(1,-2)在l上的射影分别为'O和'A,且''AOλe,其中λ=()A.511B.-511C.2D.-2②模公式22aaaa的应用举例:(1)求证:)|||(|2||||2222bababa,其几何意义是.(2)若3||||||baba,则ba(3)已知2||a,3||b,7||ba,则a与b的夹角为(4)已知cba,,中每两个向量夹角都为120且4||a,6||b,2||c,求||cba值.7.直线:0lAxByC的方向向量v,法向量u,若再已知定点00(,)Pxy,而且点(,)Mxyl,0n是单位法向量,则点P到直线l的距离公式为:.(向量形式)2/58.结论5:bababa,称为向量三角形不等式.(三)三角形的“四心”与向量1.关于重心G,有重心公式:1()3OGOAOBOC坐标)3,3(CBACBAyyyxxxG,并有性质0GCGBGA;2.关于垂心H,有性质HAHCHCHBHBHA;3.关于外心O,有性质||||||OCOBOA;结论:O、H、G三点共线且OGOH3;此线称为欧拉(Euler)线.(如何证明?)4.关于内心I,经常涉及内角平分线的研究,如)||||(ACACABABAI.如:①已知O,N,P在ABC所在平面内,且,0OAOBOCNANBNC,且PAPBPBPCPCPA,则点O,N,P依次是ABC的(A)重心外心垂心(B)重心外心内心(C)外心重心垂心(D)外心重心内心②在四边形ABCD中,AB=DC=(1,1),113BABCBDBABCBD,则四边形ABCD的面积是③设斜ABC△的外接圆圆心为O,两条边上的高的交点为H,)(OCOBOAmOH,则实数m=.④O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足ABACOPOAABAC,0,,则P的轨迹一定通过ABC的()A、外心B、内心C、重心D、垂心(四)向量与解析几何在解析几何中,熟练掌握下列结论,有助于更好地运用向量:(1)A、B、C三点共线等价于存在实数,使得OCOAOB(1);(2)ABC的重心G的坐标公式为13OGOAOBOC.(3)直线的方向向量是什么?给定两点:111222,,,PxyPxy,那么122121,PPxxyy,这也就是方向向量,横坐标单位化,得:1,tan,也就是说:直线0AxByC的方向向量是,BA,直线的法向量是,AB.例如:已知O为坐标原点,点FE、的坐标分别为)0,1(...