抛物线的简单几何性质一、选择题1．抛物线y2＝2x的焦点为F，其准线经过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左顶点，点M为这两条曲线的一个交点，且|MF|＝2，则双曲线的离心率为()A.B．2C.D．[答案]A2．已知A、B在抛物线y2＝2px(p>0)上，O为坐标原点，如果|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰好是此抛物线的焦点F，则直线AB的方程是()A．x－p＝0B．4x－3p＝0C．2x－5p＝0D．2x－3p＝0[答案]C[解析]如图所示：∵F为垂心，F为焦点，OA＝OB，∴OF垂直平分AB.∴AB为垂直于x轴的直线设A为(2pt2,2pt)(t>0)，B为(2pt2，－2pt)，∵F为垂心，∴OB⊥AF，∴kOB·kAF＝－1，即＝－1，解得t2＝∴AB的方程为x＝2pt2＝p，∴选C.3．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，那么，|AB|等于()A．8B．10C．6D．4解析：由题意，|AB|＝x1＋1＋x2＋1＝(x1＋x2)＋2＝6＋2＝8，故选A.答案：A4.动圆的圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过定点()A．(4,0)B．(2,0)C．(0,2)D．(0，－2)解析：因为圆心到直线x＋2＝0的距离等于到抛物线焦点的距离，所以定点为(2,0)．答案：B二、填空题15．抛物线顶点在坐标原点，以y轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长为16，则抛物线方程为________．6．一个正三角形的两个顶点在抛物线y2＝ax(a＞0)上，另一个顶点是坐标原点，如果这个三角形的面积为36，则a＝________.解析：设正三角形边长为x.根据抛物线的对称性可得三角形面积36＝x2sin60°，解得x＝12.因为a>0，将(6，6)代入y2＝ax，得a＝2.答案：27．已知O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若OA·AF＝－4，则点A的坐标是________．解析：因为抛物线的焦点为F(1,0)，设A，则OA＝，AF＝，由OA·AF＝－4，得y0＝±2，所以点A的坐标是(1,2)或(1，－2)．答案：(1,2)或(1，－2)三、解答题8．一抛物线拱桥跨度为52m，拱顶离水面6.5m，一竹排上载有一宽4m，高6m的大木箱，问竹排能否安全通过？[解析]如图所示建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py，则有A(26，－6.5)，设B(2，y)，由262＝－2p×(－6.5)得p＝52，∴抛物线方程为x2＝－104y.当x＝2时，4＝－104y，y＝－，∵6.5－>6，∴能安全通过．2
