【高考新坐标】2016届高考数学总复习专题突破练四立体几何问题的求解策略[A级基础达标练]一、选择题1．(2015·潍坊质检)将直三棱柱截去三个角(如图47(1)所示，A，B，C分别是△GHI三边的中点)得到的几何体(如图(2))，则该几何体按图(2)所示方向的侧视图(或称左视图)为()(1)(2)图47[解析]当直三棱柱没有截去三个角时，侧视图如图①所示，由此可知截去三个角后的侧视图如图②所示，故选A.①②[答案]A2．(2014·课标全国卷Ⅱ)如图48，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为()图48A.B.C.D.[解析]由三视图可知几何体是如图所示的两个圆柱的组合体．其中左面圆柱的高为4cm，底面半径为2cm，右面圆柱的高为2cm，底面半径为3cm，则组合体的体积V1＝π×22×4＋π×32×2＝16π＋18π＝34π(cm3)，原毛坏体积V2＝π×32×6＝54π(cm3)，则所求比值为＝.[答案]C3．正四棱锥SABCD的底面边长为4，高SE＝8，则过点A，B，C，D，S的球的半径为()图49A．3B．4C．5D．6[解析]如图所示，过A，B，C，D，S的球心为O，由OE2＋EC2＝OC2，可得(8－R)2＋42＝R2，解得R＝5，故应选C.[答案]C4．(2014·北京高考)在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，D(1，1，)，若S1，S2，S3分别是三棱锥DABC在xOy，yOz，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则()A．S1＝S2＝S3B．S2＝S1且S2≠S3C．S3＝S1且S3≠S2D．S3＝S2且S3≠S1[解析]如图所示，△ABC为三棱锥在坐标平面xOy上的正投影，所以S1＝×2×2＝2.三棱锥在坐标平面yOz上的正投影与△DEF(E，F分别为OA，BC的中点)全等，所以S2＝×2×＝.三棱锥在坐标平面xOz上的正投影与△DGH(G，H分别为AB，OC的中点)全等，所以S3＝×2×＝.所以S2＝S3且S1≠S3.故选D.[答案]D5．如图410所示，ABCDA1B1C1D1是棱长为6的正方体，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF.当A1，E，F，C1共面时，平面A1DE与平面C1DF所成二面角的余弦值为()图410A.B.C.D.[解析]以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，易知当E(6，3，0)，F(3，6，0)时，A1，E，F、C1共面，设平面A1DE的法向量为n1＝(a，b，c)，依题意得可取n1＝(－1，2，1)，同理可得平面C1DF的一个法向量为n2＝(2，－1，1)，故平面A1DE与平面C1DF所成二面角的余弦值为＝.[答案]B二、填空题6．(2013·湖北高考)我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸．(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)[解析]圆台的轴截面是下底长为12寸，上底长为28寸，高为18寸的等腰梯形，雨水线恰为中位线，故雨水线直径是20寸，∴降水量为＝3(寸)．[答案]37．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题：①若α∥β，m⊂β，n⊂α，则m∥n；②若α∥β，m⊥β，n∥α，则m⊥n；③若α⊥β，m⊥α，n∥β，则m∥n；④若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n.上面命题中，所有真命题的序号为________．[解析]对于①，m，n可能是异面直线，故①错；对于③，两条直线m和n也可以相交或异面，故③错；②，④正确．[答案]②④8．直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上．若AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝120°，则此球的表面积等于________．[解析]设球心为O，球半径为R，△ABC的外心是M，则O在底面ABC上的射影是点M，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，∠ABC＝(180°－120°)＝30°，AM＝＝2.因此，R2＝22＋＝5，S球＝4πR2＝20π.[答案]20π三、解答题9．(2014·湖北高考)如图411，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，P，Q，M，N分别是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中点．求证：图411(1)直线BC1∥平面EFPQ；(2)直线AC1⊥平面PQMN.[证明](1)连结AD1，由ABCDA1B1C1D1是正方体，知AD1∥BC1，因为F，P分别是AD，DD1的中点，所以FP∥AD1.从而BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ，...
