3.1.3空间向量的数量积运算[课时作业][A组基础巩固]1.如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a，E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是()A．2BA·ACB．2AD·DBC．2FG·ACD．2EF·CB解析：2BA·AC＝－a2，故A错；2AD·DB＝－a2，故B错；2EF·CB＝－a2，故D错，只有C正确．答案：C2．设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知(DB＋DC－2DA)·(AB－AC)＝0，则△ABC是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形解析：(DB＋DC－2DA)·(AB－AC)＝(DB－DA＋DC－DA)·(AB－AC)＝(AB＋AC)·(AB－AC)＝AB2－AC2＝0∴|AB|＝|AC|，∴△ABC是等腰三角形．答案：B3．已知向量a，b，c两两交角为60°，其模都为1，则|a－b＋2c|等于()A.B．5C．6D.解析：因为|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，所以a·b＝b·c＝a·c＝，a2＝b2＝c2＝1，所以|a－b＋2c|＝＝＝＝＝.答案：A4.已知平行四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，且PA＝6，则PC＝()A．3B．7C．4D．6解析：|PC|2＝PC·PC＝(PA＋AD＋DC)2＝|PA|2＋|AD|2＋|CD|2＋2PA·AD＋2AD·DC＋2PA·DC＝62＋42＋32＋2|AD||DC|cos120°＝49.答案：B5．已知空间向量a＝(1，n,2)，b＝(－2,1,2)，若2a－b与b垂直，则|a|等于()A.B.C.D.1解析： a＝(1，n,2)，b＝(－2,1,2)．∴2a－b＝(2,2n,4)－(－2,1,2)＝(4,2n－1,2)， 2a－b与b垂直，∴(2a－b)·b＝0，即－2×4＋1×(2n－1)＋4＝0，∴n＝，故|a|＝＝.答案：D6．在四面体OABC中，棱OA、OB、OC两两垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝3，G为△ABC的重心，则OG·(OA＋OB＋OC)＝________.解析：由已知OA·OB＝OA·OC＝OB·OC＝0，且OG＝，故OG·(OA＋OB＋OC)＝(OA＋OB＋OC)2＝(|OA|2＋|OB|2＋|OC|2)＝(1＋4＋9)＝.答案：7．已知|a|＝3，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，m⊥n，则λ＝________.解析：因为m⊥n，所以m·n＝0，即(a＋b)·(a＋λb)＝0，所以a2＋(λ＋1)a·b＋λb2＝0，所以(3)2＋(λ＋1)×3×4×cos135°＋λ·42＝0，所以18－12(λ＋1)＋16λ＝0，所以4λ＋6＝0，λ＝－.答案：－8．已知空间向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|＝2，则|3a－2b|＝________.解析： |a|＝|b|＝|a－b|＝2，∴|a－b|2＝4，即a2－2a·b＋b2＝4，∴a·b＝2，∴|3a－2b|2＝(3a－2b)2＝9a2－12a·b＋4b2＝28，故|3a－2b|＝2.答案：29.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.求证：PA⊥BD.证明： PA＝DA－DP，DB＝DA＋DC.∴PA·DB＝(DA－DP)·(DA＋DC)＝DA2＋DA·DC－DP·DA－DP·DC＝DA2＋DA·2DA·cos120°＝0.∴PA⊥DB，即PA⊥BD.10.如图，已知线段AB⊥平面α，BC⊂α，CD⊥BC，DF⊥平面α，且∠DCF＝30°，D与A在α的同侧，若AB＝BC＝CD＝2，求A，D两点间的距离．解析： AD＝AB＋BC＋CD，∴|AD|2＝AD·AD＝(AB＋BC＋CD)·(AB＋BC＋CD)＝|AB|2＋|BC|2＋|CD|2＋2AB·BC＋22BC·CD＋2AB·CD① AB＝BC＝CD＝2，∴|AB|＝|BC|＝|CD|＝2②又 AB⊥α，BC⊂α，∴AB⊥BC.∴AB·BC＝0.③ CD⊥BC，∴CD·BC＝0.④把②③④代入①可得|AD|2＝4＋4＋4＋2AB·CD＝12＋2|AB|·|CD|cos〈AB，CD〉＝12＋8cos〈AB，CD〉．⑤ ∠DCF＝30°，从而∠CDF＝60°.又 AB⊥α，DF⊥α，∴AB∥DF.∴〈AB，DC〉＝〈DF，DC〉＝60°.∴〈AB，CD〉＝120°.代入⑤式得到|AD|2＝12＋8cos120°＝8，∴|AD|＝2.∴A，D两点间距离为2.[B组能力提升]1．若(a＋b)⊥(2a－b)，(a－2b)⊥(2a＋b)，则cos〈a，b〉为()A.B．－C．－D.解析：由(a＋b)·(2a－b)＝0，(a－2b)·(2a＋b)＝0得2a2＋a·b－b2＝0，①2a2－3a·b－2b2＝0，②所以8a2－5b2＝0，a·b＝－b2，所以cos〈a，b〉＝＝＝－.答案：B2．三棱柱ABCA1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A.B．－C.D.解析：设底面边长为a，因为AB1＝AB＋AA1，|AB1|2＝(AB＋AA1)2＝AB2＋2AB·AA1＋AA12＝a2＋2×a×acos60°＋a2＝3a2，∴|AB1|＝a，BC1＝BB1＋BC＝AA1＋(AC－AB)＝AC＋AA1－AB，∴|BC1|2＝(AC＋AA1－AB)2＝AC2＋AA...
