高二数学直接证明与间接证明（理）人教实验版（A）【本讲教育信息】一.教学内容：直接证明与间接证明二.重点、难点：1.直接证明（1）综合法利用已知条件和某些数学定义，定理公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立。（2）分析法从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把到证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件，定理，定义，公理）。2.间接证明反证法（针对否定命题，关于不存在，不成立的证明）假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立。【典型例题】[例1]在△ABC中，求证：。证明：[例2]如图，设抛物线的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC//轴，证明直线AC经过原点O。证明：因为抛物线的焦点为F（）用心爱心专心所以经过点F的直线AB的方程可设为代入抛物线方程得设A（），B（），则是该方程的两个根，所以因为BC//x轴，且点C在准线上，所以点C的坐标为（）故直线CO的斜率为即也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O[例3]已知P是ABC所在的平面外一点，且PA、PB、PC两两垂直，PH⊥平面ABC于H，求证：。证明：连CH延长交AB于D PC⊥PA，PC⊥PB∴PC⊥平面PAB∴PC⊥AB，又PH⊥平面ABC∴PH⊥AB∴AB⊥平面PCH，PD⊥AB又PA⊥PB，由三角形面积公式有∴又∴同理∴[例4]如果，求证：。证明： ∴∴∴∴[例5]求证：证明： ，要证只需证即证，即，即证 显然成立∴[例6]如图AB为⊙O的直径，⊙O在平面内，SA⊥平面，∠SBA=30°，动点P在圆O上移动（不重合于A、B两点），以N和M表示点A在SP、SB上的射影，∠BAP=，∠AMN=。求证：（1）△SPB是直角三角形，（2）AN⊥平面SPB。用心爱心专心证明：（1）是直角三角形（2）[例7]用适当方法证明：已知：，求证：证明：（用综合法） ∴[例8]已知函数，请用反证法证明没有负数根。证法1：设存在，满足，则又，所以，即与假设矛盾故方程没有负数根证法2：设存在，满足（1）若，则，，所以与矛盾（2），则，所以与矛盾故方程没有负数根[例9]如果一条直线与一个平面平行，点A在平面内，直线经过点A与平行，则在用心爱心专心内。解析：假设不在内 ，∴∴由点A与直线可确定一个平面 与有公共点A∴必有一条经过点A的交线，从而∴又∴这与和有公共点A矛盾∴原假设不成立∴[例10]已知，求证：。分析：直接证明难以入手，假设原结论不成立，则，这样它可以作为条件与原条件结合在一起，通过消元产生矛盾式。解析：假设，那么∴将代入得，，即由此得出矛盾∴[例11]△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为，求证：。证明：分析法：要证，即证也就是只需证需证又△ABC三内角A、B、C成等差数列，故B=60°由余弦定理，有，即故得证综合法：证明： △ABC三内角A、B、C成等差数列∴B=60°由余弦定理，有，得等式两边同时加上得等式两边同除以得，∴即用心爱心专心[例12]已知且，求证：证明：（1）当且仅当时等号成立∴不等式成立[例13]已知函数是（－∞，+∞）上的增函数，。（1）证明命题：若，则（2）判断（1）中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论。证明：（1）又两式相加，得（2）假设，那么这与已知矛盾，故只有成立，因此逆命题成立。[例14]已知。（1）求证：；（2）求证：中至少有一个不小于。解析：（1）（2）假设中至少有一个不小于不成立，则都小于，则，而，这与相矛盾，从而假设不成立，原命题成立，即中至少有一个不小于。【模拟试题】1.分析法证明问题是从所证命题的结论出发，寻求使这个结论成立的（）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既非充分条件又非必要条件2.下面的四个不等式：①②③④其中恒成立的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个用心爱心专心3.已知函数，若，则等于（）A.B.C.D.4.（07·陕西·理10）已知平面//平面，直线，直线，点，点B∈n，记点A、B之间的距离为，点A到直线n的距离为b，直线m和n的距离为c，则（）A.B.C.D.5.锐角三角形的面积等于底乘高的一半；直角三角形的面积等于底乘高的一半；钝角三角形的面积等于底乘高的一半；所以...
