3.1.1空间向量及其加减运算3.1.2空间向量的数乘运算1.已知空间四边形ABCD中,G为CD的中点,则+(+)等于(A)(A)(B)(C)(D)解析:+(+)=+×(2)=+=.故选A.2.下列命题中正确的个数是(A)①若a与b共线,b与c共线,则a与c共线;②向量a,b,c共面,即它们所在的直线共面;③若a∥b,则存在唯一的实数λ,使a=λb.(A)0(B)1(C)2(D)3解析:①当b=0时,a与c不一定共线,故①错误;②中a,b,c共面时,它们所在的直线平行于同一平面,不一定在同一平面内,故②错误;③当b为零向量,a不为零向量时,λ不存在.故选A.3.在平行六面体ABCDEFGH中,若=x-2y+3z,则x+y+z等于(C)(A)(B)(C)(D)1解析:=++,则x=1,y=-,z=,故选C.4.已知空间向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是(A)(A)A,B,D(B)A,B,C(C)B,C,D(D)A,C,D解析:因为=+=2a+4b=2,所以A,B,D三点共线.故选A.5.若空间中任意四点O,A,B,P满足=m+n,其中m+n=1,则(A)(A)P∈AB(B)PAB∉1(C)点P可能在直线AB上(D)以上都不对解析:因为m+n=1,所以m=1-n,所以=(1-n)+n,即-=n(-),即=n,所以与共线.又有公共起点A,所以P,A,B三点在同一直线上,即P∈AB.故选A.6.若a与b不共线,且m=a+b,n=a-b,p=a,则(D)(A)m,n,p共线(B)m与p共线(C)n与p共线(D)m,n,p共面解析:由于(a+b)+(a-b)=2a,即m+n=2p,即p=m+n,又m与n不共线,所以m,n,p共面.7.已知i,j,k是不共面向量,a=2i-j+3k,b=-i+4j-2k,c=7i+5j+λk,若a,b,c三个向量共面,则实数λ等于(D)(A)(B)9(C)(D)解析:因为a,b,c三向量共面,所以存在实数m,n,使得c=ma+nb,即7i+5j+λk=m(2i-j+3k)+n(-i+4j-2k).所以所以λ=.8.给出下列命题:①若A,B,C,D是空间任意四点,则有+++=0;②|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件;③若,共线,则AB∥CD;④对空间任意一点O与不共线的三点A,B,C,若=x+y+z(其中x,y,z∈R),则P,A,B,C四点共面.其中不正确命题的个数是(C)(A)1(B)2(C)3(D)4解析:显然①正确;若a,b共线,则|a|+|b|=|a+b|或|a+b|=||a|-|b||,故②错误;若,共线,则直线AB,CD可能重合,故③错误;只有当x+y+z=1时,P,A,B,C四点才共面,故④错误.故选C.29.下列命题:①空间向量就是空间中的一条有向线段;②不相等的两个空间向量的模必不相等;③两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同;④向量与向量的长度相等.其中真命题有.解析:①假命题,有向线段只是空间向量的一种表示形式,但不能把二者完全等同起来.②假命题,不相等的两个空间向量的模也可以相等,只要它们的方向不相同即可.③假命题,当两个向量的起点相同,终点也相同时,这两个向量必相等,但两个向量相等却不一定有相同的起点和终点.④真命题,与仅是方向相反,它们的长度是相等的.答案:①10.在直三棱柱ABCA1B1C1中,若=a,=b,=c,则=.解析:如图,=-=-=--(-)=-c-(a-b)=-c-a+b.答案:-c-a+b11.已知点G是△ABC的重心,O是空间任一点,若++=λ,则λ的值为.解析:连接CG并延长交AB于D,则=2,所以-=2(-),3即3=2+.又2=+,所以3=++.因此,λ的值为3.答案:312.有下列命题:①若∥,则A,B,C,D四点共线;②若∥,则A,B,C三点共线;③若e1,e2为不共线的非零向量,a=4e1-e2,b=-e1+e2,则a∥b;④若向量e1,e2,e3是三个不共面的向量,且满足等式k1e1+k2e2+k3e3=0,则k1=k2=k3=0.其中是真命题的序号是(把所有真命题的序号都填上).解析:根据共线向量的定义,若∥,则AB∥CD或A,B,C,D四点共线,故①错;∥且AB,AC有公共点A,所以②正确;由于a=4e1-e2=-4·(-e1+e2)=-4b,所以a∥b.故③正确;易知④也正确.答案:②③④13.如图所示,已知几何体ABCDA1B1C1D1是平行六面体.(1)化简++,并在图中标出其结果;(2)设M是底面ABCD的中心,N是侧面BCC1B1对角线BC1上的分点,设=α+β+γ,求α,β,γ的值.解:(1)取DD1的中点G,过点G作DC的平行线GH,使GH=DC,连接AH(如图),则++=.4(2)因为M是底面ABCD的中心,N是侧面BCC1B1对角线BC1上的分点,所以=+=+=(-)+(+)=++,所以α=,β=,γ=.14.如图,H为四棱锥PABCD的棱PC的三等分点,且PH=HC,点G在AH上,AG=mAH.四边形ABCD为平行四边形,若G,B,P,D四点共面,求实数m的值.解:连接BD,BG.因为=-且=,所以=-.因为=+,所以=+-=-++.因为=,5所以==(-++)=-++.又因为=-,所以=-++.因为=m,所以=m=-++.因为=-+=-+,所以=(1-)+(-1)+.又因为B,G,P,D四点共面,所以1-=0,即m=.15.求证:四面体中连...
