课时作业(十四)第14讲第4课时导数与方程基础热身1.(12分)[2017·甘肃肃南第一中学月考]已知f(x)=ax2-(b+1)xlnx-b,曲线y=f(x)在点P(e,f(e))处的切线方程为2x+y=0.(1)求f(x)的解析式;(2)研究函数f(x)在区间(0,e4]内的零点的个数.2.(12分)[2017·漳州八校联考]设函数f(x)=lnx-ax2+ax,a为正实数.(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)求证:f≤0;(3)若函数f(x)有且只有1个零点,求a的值.能力提升3.(12分)[2017·蚌埠质检]已知函数f(x)=x2-lnx的图像在点,f处的切线斜率为0.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若g(x)=f(x)+mx在区间(1,+∞)上没有零点,求实数m的取值范围.4.(12分)[2017·合肥二模]已知f(x)=lnx-x+m(m为常数).(1)求f(x)的极值;(2)设m>1,记f(x+m)=g(x),已知x1,x2为函数g(x)的两个零点,求证:x1+x2<0.5.(12分)[2017·泸州三诊]已知函数f(x)=ex+(a+1)x(其中e为自然对数的底数).(1)设过点(0,0)的直线l与曲线y=f(x)相切于点(x0,f(x0)),求x0的值;(2)函数g(x)=f(x)-(ax2+ex+1)的导函数为g'(x),若g'(x)在(0,1)上恰有两个零点,求a的取值范围.难点突破6.(12分)[2017·潮州二模]已知函数g(x)=lnx-ax2+(2-a)x,a∈R.(1)求g(x)的单调区间;(2)若函数f(x)=g(x)+(a+1)x2-2x,x1,x2(x1
0,当x∈(1,e)时,g'(x)<0,当x∈(e,e4]时,g'(x)>0,所以g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,e)上单调递减,在(e,e4]上单调递增.极大值g(1)=1-e<0,极小值g(e)=-2<0,g(e4)=e4-4(e+1)-, 4(e+1)+<4×4+1=17,e4>2.74>2.54>62=36,∴g(e4)>0.综上,g(x)在(0,e4]内有唯一零点,因此,f(x)在(0,e4]内有唯一零点.2.解:(1)当a=2时,f(x)=lnx-2x2+2x,f'(x)=-4x+2,∴f'(1)=-1,f(1)=0,∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是x+y-1=0.(2)证明:f=-lna-+1(a>0),令g(x)=-lnx-+1(x>0),则g'(x)=.∴当00,函数单调递增;当x>1时,g'(x)<0,函数单调递减.∴当x=1时,函数取得极大值,也是最大值,∴g(x)≤g(1)=0,∴f≤0.(3)f'(x)=-2ax+a=-,x>0,令f'(x)>0,得1,则f(x0)>f(1)=0,此时>1,即01.由(2)知,f<0,又函数f(x)在以x0和为端点的闭区间上的图像连续,∴在x0和之间存在x1,使f(x1)=0,则f(x)共有2个零点,不符合题意.若x0<1,则f(x0)>f(1)=0,此时<1,即a>1,则0<<1.同理可得,在和x0之间存在x2,使f(x2)=0,则f(x)共有2个零点,不符合题意.综上,x0=1,a的值为1.3.解:(1)f(x)=x2-lnx,定义域为(0,+∞).f'(x)=2x-,因为f'=1-a=0,所以a=1,f(x)=x2-lnx,f'(x)=2x-=(x>0).令f'(x)>0,得x>,令f'(x)<0,得00在(1,+∞)上恒成立.由g(x)>0,得m>-x,令h(x)=-x,x∈[1,+∞),则h'(x)=-1=,当x>1时,h'(x)<0,所以h(x)=-x在(1,+∞)上单调递减,所以h(x)0),由f'(x)=0得x=1,且当00,当x>1时,f'(x)<0.故函数f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞),所以,函数f(x)的极大值为f(1)=m-1,无极小值.(2)证明:g(x)=f(x+m)=ln(x+m)-x, x1,x2为函数g(x)的两个零点,∴即令h(x)=ex-x,则h(x)=m有两个解x1,x2.令h'(x)=ex-1=0得x=0,∴当-m0时,h'(x)>0,∴h(x)在(-m,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增. h(x)=m的两解x1,x2分别在区间(-m,0)和(0,+∞)上,不妨设x1<0
